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Folgender Ausdruck soll mittels vollständiger Induktion bewiesen werden:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(2k-1)^3 [/mm] = [mm] n^2(2n^2 [/mm] - 1)
Im I.S erhalte ich nun durch Einsetzen der I.V:
[mm] n^2(2n^2 [/mm] - 1) + [mm] (2(n+1)-1)^3
[/mm]
Nach Auflösung des Binoms und Umstellung erhalte ich nun:
[mm] 2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1
[/mm]
Ab hier wusste ich nicht mehr weiter. Ich muss zum Schluss auf den Term:
[mm] (n+1)^2 (2(n+1)^2-1) [/mm]
kommen.
Die Lösung schlägt eine Polynomdivision vor welche ich dann auch direkt zwei mal gemacht habe um einen quadratischen Term zu erhalten.
[mm] 2n^2+4n+1
[/mm]
Wie kommt man auf den Trichter Polynomdivison zu verwenden? Das Problem scheint ja zu sein, das im aufgelösten Term vor der Division kein (n+1) vorhanden ist und der Term kein quadratischer ist. Deshalb die Polynomdivision? Da ja auch gerade die NST von dem Term vor der Division -1 ist - also (n+1)...
Zum Ergebnis wird nun noch der Term [mm] n^2+2n+1 [/mm] drauf multipliziert. Aber woher kommt denn dieser Term auf einmal?
Die beiden Terme ergeben dann den Term den es galt zu zeigen.
[mm] (n+1)^2 (2(n+1)^2-1)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Folgender Ausdruck soll mittels vollständiger Induktion
> bewiesen werden:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(2k-1)^3[/mm] = [mm]n^2(2n^2[/mm] - 1)
>
> Im I.S erhalte ich nun durch Einsetzen der I.V:
>
> [mm]n^2(2n^2[/mm] - 1) + [mm](2(n+1)-1)^3[/mm]
>
> Nach Auflösung des Binoms und Umstellung erhalte ich nun:
>
> [mm]2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1[/mm]
>
> Ab hier wusste ich nicht mehr weiter. Ich muss zum Schluss
> auf den Term:
>
> [mm](n+1)^2 (2(n+1)^2-1)[/mm]
>
> kommen.
>
> Die Lösung schlägt eine Polynomdivision vor welche ich
> dann auch direkt zwei mal gemacht habe um einen
> quadratischen Term zu erhalten.
>
> [mm]2n^2+4n+1[/mm]
>
> Wie kommt man auf den Trichter Polynomdivison zu verwenden?
> Das Problem scheint ja zu sein, das im aufgelösten Term
> vor der Division kein (n+1) vorhanden ist und der Term kein
> quadratischer ist. Deshalb die Polynomdivision? Da ja auch
> gerade die NST von dem Term vor der Division -1 ist - also
> (n+1)...
>
> Zum Ergebnis wird nun noch der Term [mm]n^2+2n+1[/mm] drauf
> multipliziert. Aber woher kommt denn dieser Term auf
> einmal?
>
> Die beiden Terme ergeben dann den Term den es galt zu
> zeigen.
>
> [mm](n+1)^2 (2(n+1)^2-1)[/mm]
Hallo SturmGhost,
da du ja schon weißt, auf welchen Term du am
Schluss kommen solltest, nämlich
[mm](n+1)^2 (2(n+1)^2-1)[/mm]
kannst du doch auch von diesem Term ausgehend
ein paar Schritte tun, nämlich ihn komplett
ausmultiplizieren und dann dieses Ergebnis
mit dem vergleichen, das du vom anderen
Ende aus erreicht hast !
LG , Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:27 Mo 28.10.2013 | | Autor: | SturmGhost |
Löse ich das Endergebniss, welches ich erhalten soll, auf erhalte ich doch bloß:
[mm] 2n^4+8n+1
[/mm]
das ist aber nicht der Term vor der Division:
[mm] 2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1
[/mm]
Verstehe nicht so recht wie du vorgehen willst?!
Edit: Schmarn, hätte nur richtig ausmultiplizieren sollen. :D Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 28.10.2013 | | Autor: | SturmGhost |
Ach quatsch. Du hast recht. Hab nur falsch ausmultipliziert. :D
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