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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 So 20.10.2013 | | Autor: | Paper090 |
| Aufgabe | Führen sie eine vollständige Induktion durch:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*5^(k-1)= [mm] (1+(4n-1)*5^n)/16 [/mm] , n=0,1,... |
Hallo,
das allgemeine durchführen einer Induktion ist bekannt, aber in diesem Fall verstehe ich es nicht, da k in der Summenformel steht und n in der ausgeschriebenen Form.
Dadurch komme ich zu dem Schluss, dass die Aussage falsch ist, da k immer = 1 ist und nur bei n=1 wahr ist.
Wäre nett, wenn mir jemand dies erklären/berechnen könnte.
Freundliche Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 So 20.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Führen sie eine vollständige Induktion durch:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*5^(k-1)= [mm](1+(4n-1)*5^n)/16[/mm] ,
> n=0,1,...
> Hallo,
>
> das allgemeine durchführen einer Induktion ist bekannt,
> aber in diesem Fall verstehe ich es nicht, da k in der
> Summenformel steht und n in der ausgeschriebenen Form.
> Dadurch komme ich zu dem Schluss, dass die Aussage falsch
> ist, da k immer = 1 ist und nur bei n=1 wahr ist.
Da hast du die Summennotation scheinbar aber gründlich missverstanden
[mm] \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}
[/mm]
Hier also:
[mm] \sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}=\underbrace{1\cdot5^{1-1}}_{a_{1}}+\underbrace{2\cdot5^{2-1}}_{a_{2}}+\ldots+\underbrace{n\cdot5^{n-1}}_{a_{n}}
[/mm]
Und diese Summe sollst du nachher zu [mm] \frac{1-(4n-1)\cdot5^{n}}{16} [/mm] zusammenfassen können.
Dazu fange mal wie folgt an:
Formuliere den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung sauber
Im Induktionsschritt fange am besten wie folgt an.
[mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1}k\cdot5^{k-1}
[/mm]
Den letzten Summanden abspalten.
[mm] =\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}\right)+(n+1)\cdot5^{(n+1)-1}
[/mm]
Auf den großen Klammerausdruck kannst du noch die Induktionsvorausetzung anwenden
[mm] =\frac{1-(4n-1)\cdot5^{n}}{16}+(n+1)\cdot5^{(n+1)-1}
[/mm]
Dieses musst du noch zum "Ziel" zusammenfassen, der "unsummierten" Seite mit n+1, also zu
[mm] \frac{1-(4(n+1)-1)\cdot5^{n+1}}{16}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 20.10.2013 | | Autor: | Paper090 |
Danke, ich hatte gerade einen geistigen Durchhänger weil ich dachte, dass k = 1 eine konstante Vorgabe ist.
Eine Frage: Wie komme ich darauf, dass es heißt (n-1)*k^(n+1)-1 ?
Ich dachte dies geschieht durch einsetzen von (n+1)?Hier aber vor dem K (n-1). Die einzige Erklärung für mich wäre, dass es nicht zur vorgegebenen Formel $ [mm] \frac{1-(4n-1)\cdot5^{n}}{16} [/mm] $ passen würde.
Das zusammenfassen ist mir auch noch nicht ganz klar, aber ich werds mir mal genauer anschauen.
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> Danke, ich hatte gerade einen geistigen Durchhänger weil
> ich dachte, dass k = 1 eine konstante Vorgabe ist.
>
Nein, das hier: [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm]
bedeutet nichts anders als dass deine Summe bei 1 beginnt und bei n endet.
> Eine Frage: Wie komme ich darauf, dass es heißt
> (n-1)*k^(n+1)-1 ?
>
Du setzt dein (n+1)-tes Summenglied ein. Danach läuft deine Summe nur noch bis n.
Ein einfaches Beispiel dazu:
[mm] \sum_{k=1}^{\red {n+1}}k= \sum_{k=1}^{\red{n}}k+(n+1) [/mm]
Du solltest dir zunächst mal die Summennotation klar machen. Danach siehst du dir das allgemeine Schema der Vollständigen Induktion an.
Valerie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 So 20.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Danke, ich hatte gerade einen geistigen Durchhänger weil
> ich dachte, dass k = 1 eine konstante Vorgabe ist.
>
> Eine Frage: Wie komme ich darauf, dass es heißt
> (n-1)*k^(n+1)-1 ?
Du hast doch:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}=\underbrace{1\cdot5^{1-1}}_{a_{1}}+\underbrace{2\cdot5^{2-1}}_{a_{2}}+\ldots+\underbrace{n\cdot5^{n-1}}_{a_{n}} [/mm] $
Also wird:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{\red{n+1}}k\cdot5^{k-1}=\green{\underbrace{1\cdot5^{1-1}}_{a_{1}}+\underbrace{2\cdot5^{2-1}}_{a_{2}}+\ldots+\underbrace{n\cdot5^{n-1}}_{a_{n}}}+\underbrace{(n+1)\cdot5^{(n+1)-1}}_{a_{n+1}} [/mm] $
[mm] =\green{\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}}+\underbrace{(n+1)\cdot5^{(n+1)-1}}_{a_{n+1}}
[/mm]
Auf den grünen Teil kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 20.10.2013 | | Autor: | Paper090 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1+(4n-1)*5^n+16((n+1)*5^{(n+1)-1}}{16} [/mm] |
Bis hierhin komme ich nun auch, aber wie komme ich nun auf meine Endaussage?
Bzw. wie fasst man hier zusammen?
[mm] \bruch{1+(4(n+1)-1)*5^{(n+1)}}{16}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 20.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]\bruch{1+(4n-1)*5^n+16((n+1)*5^{(n+1)-1}}{16}[/mm]
> Bis hierhin komme ich nun auch, aber wie komme ich nun auf
> meine Endaussage?
> Bzw. wie fasst man hier zusammen?
Darum geht es doch jetzt. Das sind ganz elementare Termumformungen, Ausklammern und so.
>
> [mm]\bruch{1+(4(n+1)-1)*5^{(n+1)}}{16}[/mm]
>
$ [mm] \bruch{1+(4n-1)\cdot{}5^n+16(n+1)\cdot{}5^{(n+1)-1}}{16} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1+(4n-1)\cdot{}5^{n}+16(n+1)\cdot{}5^{n}}{16} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1+((4n-1)+16(n+1))\cdot5^{n}}{16}$
[/mm]
$ [mm] =\bruch{1+(20n+15)\cdot5^{n}}{16}$
[/mm]
$ [mm] =\bruch{1+5(4n+3)\cdot5^{n}}{16}$
[/mm]
Nun wieder du.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 So 20.10.2013 | | Autor: | Paper090 |
Vielen Dank, jetzt hab ich es begriffen, ich wende die Regeln zu selten auf Reihen an.
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