Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:55 Fr 14.10.2005 | | Autor: | cornacio |
Guten Morgen!
Hab folgendes Problem:
n [mm] \in [/mm] N
1+4+7+........ + (3n-2) = 1/2n (3n-1)
Beweise durch die vollständige Induktion!?
Das Problem ist, dass ich nicht weiß, was mein Professor von mir will.............??
D A N K E !!!!!
Grüße cornacio
P.S. ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Fr 14.10.2005 | | Autor: | statler |
Ebenfalls guten Morgen!
> Hab folgendes Problem:
>
> n [mm]\in[/mm] N
>
> 1+4+7+........ + (3n-2) = 1/2n (3n-1)
>
> Beweise durch die vollständige Induktion!?
>
> Das Problem ist, dass ich nicht weiß, was mein Professor
> von mir will.............??
Naja, er will einen mathematisch korrekten Beweis, nichts einfacher als das. Aber warum steht das in "Klassen 5-8"?
1. Frage an dich: Weißt du denn, was vollständige Induktion ist? Mit Ind.-Anfang und Ind.-Schluß?
2. Die Formel ist so falsch geschrieben!
Richtig ist 1+4+7+........ + (3n-2) = [mm] \bruch{1}{2}*n*(3n-1)
[/mm]
Jetzt zum Beweis: Für n = 1 ist die Formel richtig, das kannst du selbst nachrechnen.
Wenn sie für ein n richtig ist, muß sie auch für n+1 richtig sein. Das heißt doch, es muß gelten
1+4+7+........ + (3n-2) + (3(n+1)-2) = [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)*(3(n+1)-1)
[/mm]
Wegen der Voraussetzung "für n richtig" können wir einsetzen:
[mm] \bruch{1}{2}*n*(3n-1) [/mm] + (3(n+1)-2) = [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)*(3(n+1)-1)
[/mm]
Das kannst du selbst prüfen, wenn es nicht stimmt, ist die Formel falsch.
Also bist du jetzt dran!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 14.10.2005 | | Autor: | cornacio |
Hallo Dieter!
Vielen Dank für deinen netten Versuch, mir das ganze zu erklären:
Probleme:
1. ist diese Beispiel von einer 14 (!!) jährigen Tochter einer Freundin von mir.......
2. Mit Ind. Anfang und Ind. Ende fang ich relativ wenig an, weil ich mit solchen Dingen wenig zu tun habe!
3. wie komm ich auf die Voraussetzung "für n richtig" ?
4. kann ich das leider nicht selber prüfen!
Ich weiß, das ist keine gute Voruassetzung, das Beispiel zu lösen, aber vielleicht kann mir doch irgendwer ein bißchen helfen.....................???
BITTE, BITTE!!!!!!!!!!
Grüße aus Wien!
cornacio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Fr 14.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1. ist diese Beispiel von einer 14 (!!) jährigen Tochter
> einer Freundin von mir.......
Zuerst schreibst du etwas von Professor, dann jetzt sowas. Was ist denn nun?!?
> 2. Mit Ind. Anfang und Ind. Ende fang ich relativ wenig
> an, weil ich mit solchen Dingen wenig zu tun habe!
Dann lies zB im Wikipedia nach.
> 3. wie komm ich auf die Voraussetzung "für n richtig" ?
Induktionsannahme.
> 4. kann ich das leider nicht selber prüfen!
Was? Zum Schluß steht da eine Rechnung mit Brüchen, die man doch mit elementaren Mitteln aus der Schule lösen könnte.
> Ich weiß, das ist keine gute Voruassetzung, das Beispiel zu
> lösen, aber vielleicht kann mir doch irgendwer ein bißchen
> helfen.....................???
Es steht ja eigentlich schon alles oben.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Fr 14.10.2005 | | Autor: | cornacio |
bin ich da jetzt in der schule herr professor??
1. hat den ersten beitrag die 14jährige Tochter meiner freundin geschrieben (und mit meinem nick unterschrieben)
2. hab den zweiten beitrag ich getippt
3. ist das kein verhör, sondern hab ICH höflichst um HILFE GEBETEN!!
4. wenn du mir nicht helfen willst/kannst, lass es, habe keine lust deinem verhör beizuwohnen, sondern einer Schülerin beim Lösen der Beispiele zu helfen!!
Trotzdem schöne Grüße und Danke für deine antwort!!
Grüße cornacio
P.S. hab das Beispiel schon fast gelöst, es stehen aber noch viiiiiiiiele andere (schwierigere) Beispiele am Übungszettel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Fr 14.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> bin ich da jetzt in der schule herr professor??
Ich bin kein Professor.
> 1. hat den ersten beitrag die 14jährige Tochter meiner
> freundin geschrieben (und mit meinem nick unterschrieben)
> 2. hab den zweiten beitrag ich getippt
Okay, okay. Ist blos verwirrend, wenn sie dann mit deinen Nick unterschreibt - das sieht dann aus, wie Persöhnlichkeitsspaltung 
> 3. ist das kein verhör, sondern hab ICH höflichst um HILFE
> GEBETEN!!
Die habe ich ja auch gegeben - aber anstatt den üblichen Standard zum 100. mal neuauszudenken, habe ich auf die Wikipedia Seite gelinkt, die die Begriffe imo sehr gut erklärt. Ich stelle halt Fragen, so dass man entweder konkreter werden kann, oder mal drüber nachdenken kann. Ich finde nicht, dass Hilfe - vor allem wenn man noch viele andere Induktionsaufgaben lösen möchte - daraus bestehen sollte, jede einzelne aufgabe sich bis ins Detail vorrechnen zu lassen. Man hat dir ja schon konkret genatwortet - das einzige, was da noch fehlte, war einen Bruch umzuformen. Und der wikipedia-Link ist ja gerade dafür da, um mal das ganze Beweisprinzip zu verstehen.
Hast du dir den überhaupt angeschaut?
> 4. wenn du mir nicht helfen willst/kannst, lass es, habe
> keine lust deinem verhör beizuwohnen, sondern einer
> Schülerin beim Lösen der Beispiele zu helfen!!
Na also! Das ist nicht nur das Beispiel - da kommen noch mehr. Noch mehr Induktionsaufgaben? Aufgaben die so ähnlich aussehen? Dann ist es doch besser, jemanden zu zeigen/Link zu geben, wo vollständige Induktion erklärt wird.
> P.S. hab das Beispiel schon fast gelöst, es stehen aber
> noch viiiiiiiiele andere (schwierigere) Beispiele am
> Übungszettel!
zum Beispiel?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Fr 14.10.2005 | | Autor: | der_philip |
Hier mal was zur Induktion...
Ich hab auch so'npaar Probleme damit-aber vielleicht hilft euch das ja weiter?!
Vollständige Induktion
Das Problem
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass man Aussagen nicht nur für eine endliche Menge zeigen muss, sondern für die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, welche wir mit N bezeichnen. Hierbei kann man dann nicht wie gewöhnlich vorgehen und die Aussage A der Reihe nach für alle natürlichen Zahlen zeigen, da es sich ja um eine unendliche Menge handelt.
Die Lösung
Die vollständige Induktion liefert eine Methode Aussagen für alle natürlichen Zahlen in zwei Schritten zu beweisen:
1. Man nimmt an, dass A(n) für ein festes n in N gilt. (Beachte: Ob A(n) wirklich gilt, steht nicht zur Debatte!)
Nun zeigt man, dass, wenn A(n) gilt, auch A(n+1) zutrifft; also, wenn die Aussage A für ein festes n in N wahr ist, dass sie dann auch für den Nachfolger von n erfüllt ist.
2. Woher weiß man aber, dass A(n) gilt?
Um dies sicherzustellen führt man normalerweise zuerst den Induktionsanfang durch: D.h. Man zeigt, dass A für welches die Aussage richtig sein soll, auch wirklich wahr ist (in der Regel ist also zu zeigen, dass A(1) wahr ist).
Somit weiß man, dass
1. A(1) wahr ist und
2. die Folgerung:[Wenn A(n) gilt, so folgt, dass sie auch für den Nachfolger A(n+1) zutrifft] wahr ist.
Nun kann man aber auch schon sehen, dass es somit für alle natürlichen Zahlen gelten muss: Es gilt für die erste natürliche Zahl, die Eins somit wegen 2. auch für die Zwei, somit wegen 2. für die Drei,....
Zu beachten:
* Beim Induktionsschluss ist eine Implikation zu zeigen, das heißt man muss überprüfen, ob eine Aussage für n+1 gilt unter der Annahme, dass sie für n gilt. Man muss nicht fragen, ob sie denn für n erfüllt ist.
* Sowohl Induktionsanfang als auch Induktionsschluss müssen erfüllt sein. Ohne einen gültigen Induktionsanfang könnte man immer noch erhalten, dass der Schluss von n auf n+1 gelingt. Allerdings hat man es dann nicht für ein n in N gezeigt und somit fehlt die Basis.
* Der Induktionsanfang muss nicht immer bei n=1 bzw. n=0 gewählt werden. In manchen Fällen gilt die zu beweisende Aussage erst ab einer größeren Zahl. Dennoch ist es ratsam den Induktionsanfang bei der kleinstmöglichen Zahl zu wählen.
* Um die Beweisführung so übersichtlich wie möglich zu gestalten, hält man sich am Besten an das Schema:
o Induktionsanfang (I.A.)
o Induktionsvoraussetzung (I.V.)
o Induktionsschluss (I.S.)
* Meistens läuft die Induktion über n ab. Jedoch ist n hier nur eine Variable und kann somit durch jeden anderen beliebigen Buchstaben ersetzt werden. In manchen Aussagen sind mehrere Variable enthalten, so dass man sich erst klar machen sollte über welche Variable die Induktion zu führen ist.
Beispiele:
* Man beweise mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die Formel 1+3+5+...+(2n-1)=n2 erfüllt ist.
Induktionsanfang : n=1: 1=12=1 ist erfüllt.
Induktionsvoraussetzung: 1+3+5+...+(2n-1)=n2 gilt für ein n aus N.
Induktionsschluss:
1+3+5+...+(2(n+1)-1) =1+3+5+...+(2n+1)
=1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)
=n2+2n+1 (nach Induktionsvoraussetzung)
=(n+1)2
* Beweise mit vollständiger Induktion: 1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1).
Induktionsanfang : n=1: 1=1(2-1)=1 ist erfüllt.
Induktionsvoraus.:1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1) gilt für ein n in N.
Induktionsschluss:
1+5+9+...+(4n-3)+(4(n+1)-3) =n(2n-1)+(4(n+1)-3) (n.Induktionsvoraussetzung)
=2n2-n+4n+1
=2n2+3n+1
=(n+1)(2n+1).
* Mit Hilfe der vollständigen Induktion soll gezeigt werden, dass n5-n durch 5 teilbar ist für alle n in N.
Induktionsanfang : n=1: 15-1=0 und somit durch 5 teilbar.
Induktionsvoraus.: Gelte für ein n in N: n5-n ist durch 5 teilbar, d.h. es existiert ein m in N, so dass gilt: 5m=n5-n.
Induktionsschluss:
(n+1)5-(n+1) =(n+1)5-n-1
=n5+5n4+10n3+10n2+5n+1-n-1
=n5-n+5(n4+2n3+2n2+n)
=5m+5(n4+2n3+2n2+n) (n. Induktionsvoraussetzung)
=[m+(n4+2n3+2n2+n)]5
Und somit folgt, dass (n+1)5-(n+1) durch 5 teilbar ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Fr 14.10.2005 | | Autor: | micha26 |
stimmt ja mit deinen Beispielen. aber wie sieht es aus, wenn du eine Gleichung hast, die nur aus variablen besteht. wie [mm] x^2+y^2=z^n.
[/mm]
da finde ich nicht einmal den I.anfang. mir ist schon klar, das ich die gleichung und den nachfolger [mm] z^{n+1} [/mm] beweisen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 14.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micha!
Diese Frage / Aufgabe hast Du doch hier bereits einmal gestellt und wurde Dir beantwortet (zumindest mit Hinweisen vershen).
Bitte stelle doch entsprechende Rückfragen auch in diesem Thread!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Steffen1 |
Hallo statler und alle anderen.
Warum ist diese Formel
1+4+7+........ + (3n-2) = [mm] \bruch{1}{2}*n*(3n-1) [/mm]
fuer n=1 richtig? Wie kann ich das nachrechnen.
Ich denke, dass ich 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 usw. ausrechnen muss. Und das ist ja wahrscheinlich falsch bzw. unmoeglich.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Steffen!
> 1+4+7+........ + (3n-2) = [mm]\bruch{1}{2}*n*(3n-1)[/mm]
>
> fuer n=1 richtig? Wie kann ich das nachrechnen.
Setze mal in $3n-2$ einfach $n=1$ ein. Dann siehst du, dass $3 [mm] \cdot [/mm] 1-2=1$ rauskommt. Die linke Seite geht also nur bis $1$, hat somit nur einen Summanden, und der ist $1$.
Jetzt setze $n=1$ in die rechte Seite ein. Dort erhält man
[mm] $\frac{1}{2} \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] (3 [mm] \cdot [/mm] 1 - 1)= [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 2 =1$,
also das Gleiche. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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> 1+4+7+........ + (3n-2) = [mm]\bruch{1}{2}*n*(3n-1)[/mm]
>
> fuer n=1 richtig? Wie kann ich das nachrechnen.
Hallo,
ich habe das Gefühl daß Du nicht richtig verstanden hast, was mit der Summe 1+4+7+........ + (3n-2) = [mm]\bruch{1}{2}*n*(3n-1)[/mm] gemeint ist.
Für z.b. n=5 würde dies bedeuten
(3*1-2)(3*2-2)(3*3-2)(3*4-2)(3*5-2)= [mm]\bruch{1}{2}*5*(3*5-1)[/mm]
Man schreibt es abgekürzt auch so [mm] \summe_{i=1}^{5}=[/mm] [mm]\bruch{1}{2}*5*(3*5-1)[/mm] .
Der Witz bzw. die Behauptung ist nun die, daß man für jedes beliebige n Summen, die nach diesem Prinzip gebildet werden, ausrechnen kann, indem man einfach [mm]\bruch{1}{2}*5*(3*5-1)[/mm] berechnet.
Also:
Behauptung Für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
1+4+7+...+(3n-2)=[mm]\bruch{1}{2}*5*(3*5-1)[/mm]
Um solche Behauptungen zu beweisen, verwendet man die vollstandige Induktion.
Das geht so: zunächst zeigt man, daß die Behauptung für die erste infrage kommende natürliche Zahl gilt. Hier ist das n=1. Das ist der Induktionsanfang.
Dann kommt der Trick: man zeigt, daß unter der Annahme, daß die Behauptung für irgendeine natürliche n Zahl gilt (Induktionsvorraussetzung), die Behauptung dann auch für die drauffolgende Zahl n+1gilt, woraus man schließen kann, daß die Behauptung für jede natürliche Zahl gilt.
Soviel vorweg... Nähern wir uns nun Deiner Frage, welche ja im Prinzip war,
wie man die Richtigkeit von 1+4+7+........ + (3n-2) = [mm]\bruch{1}{2}*n*(3n-1)[/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] zeigt.
Antwort: vollständige Induktion.
Für den Induktionsanfang mußt Du zeigen, daß die Beh. für n=1 gilt. Also n=1 einsetzen und gucken ob's stimmt . (3*1-2)= [mm]\bruch{1}{2}*1*(3*1-1)[/mm].
Und?Stimmt's??? Falls ja geht's weiter.
Angenommen die Beh. 1+4+7+........ + (3n-2) = [mm]\bruch{1}{2}*n*(3n-1)[/mm] gilt für [mm] n\in \IN. [/mm] (Induktionsannahme)
(Induktionsschluß) Jetzt ist zu prüfen, ob sie auch für n+1 gilt. Die Frage lautet also: was ist 1+4+7+........ + (3n-2)+(3(n+1)) ? Rauskriegen möchte man [mm]\bruch{1}{2}*(n+1)*(3*(n+1)-1)[/mm], und darauf arbeitet man nun hin.
Das Wichtigste ist, irgendwann im Induktionschluß mal die Induktionsannahme zu verwenden.
Auf geht's.
1+4+7+........ + (3n-2)+(3(n+1))=(1+4+7+........ + (3n-2)) + (3(n+1))=...
In die vordere Klammer setzt Du nun die Induktionsannahme, und dann formst Du so um, daß am Ende da steht
...= [mm]\bruch{1}{2}*(n+1)*(3*(n+1)-1)[/mm]
Wenn Du das hast, bist Du fertig. Die Behauptung ist dann für alle [mm] n\in \IN [/mm] gezeigt.
Ich hoffe, daß ich Deine Fragen beantwortet habe und wünsche Dir gutes Gelingen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Steffen1 |
@Julius und Angelika
Vielen vielen Dank. Ich bringe mir Mathematik mehr oder weniger selbst bei.
Und eure Kommentare haben mir sehr geholfen.
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