Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 13.10.2011 | | Autor: | Jandro |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] rekursiv durch:
[mm] a_{1}=2
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
Zeigen Sie mittels Vollständiger Induktion, dass:
1 < [mm] a_{n}\le2
[/mm]
[mm] a_{n}^{2}\ge2 [/mm] |
Hallo,
bin bis jetzt folgendermaßen vorgegangen:
1)
n=1 [mm] a_{2}=1,5
[/mm]
[mm] 1
[mm] a_{2}\ge2 [/mm] w. A.
2)
Annahme [mm] A_{n} [/mm] ist korrekt
3)
[mm] A_{n} [/mm] ------> [mm] A_{n+1}
[/mm]
Aber wie gehe ich nun weiter vor?
Wenn ich statt n nun n+1 einsetzte komme ich nicht weiter.
Danke
Jandro
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 13.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine Folge [mm](a_{n}) n\in\IN[/mm] rekursiv durch:
>
> [mm]a_{1}=2[/mm]
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
> Zeigen Sie mittels Vollständiger Induktion, dass:
> 1 < [mm]a_{n}\le2[/mm]
> [mm]a_{n}^{2}\ge2[/mm]
> Hallo,
>
> bin bis jetzt folgendermaßen vorgegangen:
>
> 1)
> n=1 [mm]a_{2}=1,5[/mm]
> [mm]1
> [mm]a_{2}\ge2[/mm] w. A.
>
> 2)
> Annahme [mm]A_{n}[/mm] ist korrekt
>
> 3)
> [mm]A_{n}[/mm] ------> [mm]A_{n+1}[/mm]
>
>
> Aber wie gehe ich nun weiter vor?
> Wenn ich statt n nun n+1 einsetzte komme ich nicht
> weiter.
Du musst jetzt zeigen: Wenn [mm] a_n [/mm] zwischen 1 und 2 liegt, dann liegt [mm] a_{n+1} [/mm] auch zwischen 1 und 2.
Nun gilt ja
[mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm], und wenn [mm] a_n [/mm] zwischen 1 und 2 liegt, so liegt
[mm] \bruch{1}{2}a_{n} [/mm] zwischen 0,5 und 1, und
[mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm] liegt ebenfalls zwischen 0,5 und 1.
Somit ist die Summe dieser beiden Terme mindestens 0,5+0,5=1 und höchstens 1+1=2.
Auf feine Unterschiede zwischen "kleiner" und "kleiner gleich" habe ich hier mal nicht geachtet, das ist dein Job.
Gruß Abakus
>
> Danke
> Jandro
>
> PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 13.10.2011 | | Autor: | Jandro |
Deine Folgerungen hören sich logisch an und ich kann diese auch nachvollziehen.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich damit auf "kleiner" und "kleiner gleich" schließen sollte.
Mit der vollständigen Induktion war bis jetzt in den Aufgaben nur ein "=" zu finden.
PS.: In meinem ersten Beitrag muss es natürlich bei 1) heißen:
[mm] a_{2}^{2} \ge2 [/mm] w. A.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Do 13.10.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Deine Folgerungen hören sich logisch an und ich kann diese
> auch nachvollziehen.
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich damit auf "kleiner"
> und "kleiner gleich" schließen sollte.
> Mit der vollständigen Induktion war bis jetzt in den
> Aufgaben nur ein "=" zu finden.
>
> PS.: In meinem ersten Beitrag muss es natürlich bei 1)
> heißen:
> [mm]a_{2}^{2} \ge2[/mm] w. A.
Du musst lernen, mit Ungleichungen umzugehen. Das ist Standard in der Analysis. Damit Du Dich ein wenig dran gewöhnst, mache ich mal den einen Teil der Aufgabe. Danach machst Du selbst bitte den anderen Teil. Beide Teile zusammen sind dann die Lösung Deiner Aufgabe.
Die Folge sei so wie bei Dir vorgegeben. Behauptet ist ja, dass für alle [mm] $n\,$ [/mm] dann gilt, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;1 [/mm] < [mm] a_n \le [/mm] 2$$
ist. Das ist nur eine Kurzschreibweise dafür, dass die beiden folgenden Aussagen gelten:
a) Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ist $1 < [mm] a_n\,.$
[/mm]
b) Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $a_n \le 2\,.$
[/mm]
Mach' Dir also klar, dass [mm] $(\star)$ [/mm] zu beweisen, nichts anderes bedeutet, als zu beweisen, dass a) UND b) gelten.
Beweis von a) per Indukion (man braucht dazu allerdings BEIDE Ungleichungen von [mm] $(\star)$ [/mm] in dem Beweis, wie Du gleich sehen wirst!):
Es ist [mm] $a_1=2$ [/mm] und wegen $2 > 1$ ist damit [mm] $a_1> 1\,,$ [/mm] also ist die Induktionsvoraussetzung für a) erfüllt. (Hinweis für Teil b): Wegen [mm] $a_1=2 \le [/mm] 2$ ist sie auch für b) erfüllt.)
$n [mm] \to [/mm] n+1$:
Wir nehmen an, dass $1 < [mm] a_n \le [/mm] 2$ und es sei, wie vorgeschrieben: [mm] $a_{n+1}=0.5a_n+1/a_n\,.$ [/mm] Zu zeigen ist nun, dass
$$1 < [mm] a_{n+1}$$
[/mm]
gilt. (Teil b) soll ja separat bewiesen werden)
Aus [mm] $a_n [/mm] > 1$ folgt, dass [mm] $0.5a_n [/mm] > [mm] 0.5*1\,,$ [/mm] also
[mm] $$(I)\;\;\;0.5 a_n [/mm] > 0.5$$
gilt.
Wegen $0 < 1 < [mm] a_n \le [/mm] 2$ folgt zudem
[mm] $$(II)\;\;\; 1/a_n \ge 1/2=0.5\,.$$
[/mm]
Beachtest Du nun, dass allgemein gilt: Aus
$r < [mm] s\,$ [/mm] und $u [mm] \le v\,$
[/mm]
folgt
$$r+u < [mm] s+v\,,$$ [/mm]
so solltest Du erkennen, dass "die Addition von $(I)$ und $(II)$"gerade [mm] $a_{n+1} [/mm] > 1$ zeigt. Damit wäre dann schonmal gezeigt, dass a) (für alle [mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $a_n [/mm] > 1$) gilt.
Um Teil b) einzusehen:
[mm] $a_n [/mm] > 1$ liefert
[mm] $$(I')\;\;\;1/a_n [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
[mm] $a_n \le [/mm] 2$ liefert
[mm] $$(II')\;\;\;0.5a_n \le 0.5*2=1\,.$$
[/mm]
Die Argumentation läuft nun vollkommen analog zu der von Teil a).
(Strenggenommen erkennt man so sogar [mm] $a_{n+1} [/mm] < 2$ für alle [mm] $n\,,$ [/mm] also [mm] $a_n [/mm] < 2$ für alle $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Wegen [mm] $a_1 [/mm] = 2$ kann man allerdings natürlich nicht [mm] $a_n [/mm] < 2$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] zeigen, denn hier würde der Induktionsanfang für [mm] $n=1\,$ [/mm] nicht funktionieren.)
Deine Aufgabe noch: Das ganze nachvollziehen und sauber und vollständig zusammenschreiben. Das ist wichtig, damit Du nicht einfach nur alles stupide abschreibst, sondern drüber nachdenkst und es verstehst!
Gruß,
Marcel
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