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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Do 04.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{k=1}^{2n} \vektor{k\\ 2} *(-1)^k [/mm] = [mm] n^2 \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
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Hallo,
wollte mal nen bisschen Induktion üben und bin mir bei der Aufgabe bisschen unsicher:
Induktionsanfang:
für n=0
[mm] \summe_{k=1}^{0} \vektor{0\\ 2} (-1)^0 [/mm] = 0 = [mm] 0^2 [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{k\\ 2} (-1)^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{k\\ 2} (-1)^k +(-1)^{n+1}
[/mm]
mit Induktionsannahme:
= [mm] n^2 [/mm] + [mm] (-1)^n+1
[/mm]
ist das bis hierhin richtig und wie mache ich weiter? denn am ende müsste ja eigtl. stehen : [mm] (n+1)^2 [/mm]
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Hallo peeetaaa!
> Induktionsanfang:
>
> für n=0
> [mm]\summe_{k=1}^{0} \vektor{0\\ 2} (-1)^0[/mm] = 0 = [mm]0^2[/mm] = [mm]n^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Da die Laufvariable $k_$ mit $1_$ startet, macht m.E. hier der Anfang mit $n \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] mehr Sinn!
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \vektor{k\\ 2} (-1)^k[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{k\\ 2} (-1)^k +(-1)^{n+1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n+1} \vektor{k\\ 2} (-1)^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{k\\ 2} (-1)^k+\vektor{n+1\\ 2} (-1)^{n+1} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Peter,
die obere Laufgrenze ist $2n$.
Damit im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ also $2(n+1)=2n+2$
Also ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{2n+2}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^2$
[/mm]
(unter der Induktionsannahme, dass gilt: [mm] $\sum\limits_{k=1}^{2n}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k [/mm] \ = \ [mm] n^2$)
[/mm]
Nimm dir dazu [mm] $\sum\limits_{k=1}^{2n+2}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k [/mm] $ her, schreibe es um in
[mm] $\ldots [/mm] \ = \ [mm] \left[\sum\limits_{k=1}^{2n}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k\right]+\vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1}+\vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2}$
[/mm]
Nun nutze die IA und die Def. des Binomialkoeffizienten, dann steht's schon fast da ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Do 04.03.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
> die obere Laufgrenze ist [mm]2n[/mm].
Ich muss gestehen: da habe ich nicht ganz aufgepasst!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 04.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
So okay das hab ich echt übersehen!
Also Induktionsschritt:
[mm] \sum\limits_{k=1}^{2n+2}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k [/mm]
= [mm] \left[\sum\limits_{k=1}^{2n}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k\right]+\vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1}+\vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2} [/mm] (kurze Frage, wie kommt der mittlere Term [mm] \vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1} [/mm] denn zustande? hätte gedacht, dass man einfach nur [mm] \vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2} [/mm] hinschreiben muss..)
= [mm] n^2+ \vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1}+\vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2}
[/mm]
= [mm] n^2+ \bruch{(2n+1)(2n)}{2} [/mm] * (-1) + [mm] \bruch{(2n+2)(2n+1)}{2}
[/mm]
=...= [mm] n^2+2n+1 [/mm] = [mm] (n+1)^2
[/mm]
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Hallo Peter,
> So okay das hab ich echt übersehen!
>
> Also Induktionsschritt:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{2n+2}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k[/mm]
> =
> [mm]\left[\sum\limits_{k=1}^{2n}\vektor{k\\2}\cdot{}(-1)^k\right]+\vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1}+\vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2}[/mm]
> (kurze Frage, wie kommt der mittlere Term
> [mm]\vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1}[/mm] denn zustande?
Nun, das ist der Summand für $k=2n+1$
Wir haben in der IV ne Summe von $k=1$ bis $k=2n$, da wissen wir, dass die [mm] =n^2 [/mm] ist
Im Induktionsschritt läuft die Summe von $k=1$ bis $k=2(n+1)=2n+2$
Die haben wir aufgeteilt in die Summe bis 2n und die beiden Summanden für $k=2n+1, 2n+2$
> hätte gedacht, dass man einfach nur
> [mm]\vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2}[/mm] hinschreiben muss..)
Dann würde dir ja ein Summand fehlen, den darfst du nicht verschlabbern ...
>
> = [mm]n^2+ \vektor{2n+1\\2}\cdot{}(-1)^{2n+1}+\vektor{2n+2\\2}\cdot{}(-1)^{2n+2}[/mm]
>
> = [mm]n^2+ \bruch{(2n+1)(2n)}{2}[/mm] * (-1) +
> [mm]\bruch{(2n+2)(2n+1)}{2}[/mm]
> =...= [mm]n^2+2n+1[/mm] = [mm](n+1)^2[/mm]
Ja, genauso ist's richtig!
Gruß
schachuzipus
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