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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] 1\*2+2\*3+3\*4+...+n(n+1)= \bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe die vollständige Induktion durchgeführt und fände es sehr nett, wenn sich jemand kurz die Zeit nehmen würde es zu beurteilen und evt. Tipps oder Verbesserungsvorschläge machen könnte!
(Muss diese Aufgabe präsentieren und werde zusätzlich geprüft dazu):
Also der Induktionssatz lautet:
[mm] 1\*2+2\*3+3\*4+...+n(n+1)= \bruch{n(n+1)(n+2)}{3}
[/mm]
Der Induktionsanfang für n=1 heißt zu zeigen, dass diese Gleichung für n=1 stimmt:
[mm] 2=\bruch{2*3}{3} [/mm] (=2)
2=2, d.h. Voraussetzung für n=1 erfüllt.
Der Induktionsschluss ist also n=k
und damit ist die Induktionsvoraussetzung:
[mm] 1\*2+2\*3+3\*4+...+k(k+1)= \bruch{k(k+1)(k+2)}{3}
[/mm]
Die Induktionsbehauptung für den letztendlichen Beweis lautet:
(n=k+1), k+1 für n eingesetzt
[mm] 1\*2+2\*3+3\*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+1+1)=\bruch{(k+1)(k+2)(k+3}{3}
[/mm]
Daraus entnimmt man den Induktionsschluss:
[mm] 1\*2+2\*3+3\*4+...+k(k+1) [/mm] muss wie oben gezeigt [mm] \bruch{k(k+1)(k+2)}{3} [/mm] sein.
also:
[mm] \bruch{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\bruch{(k+1)(k+2)(k+3}{3}
[/mm]
nun gilt es nur noch die linke Seite der Gleichung in die Rechte zu überführen, um zu zeigen, dass die Bedingung erfüllt ist:
ich habe (k+1)(k+2) mit 3 erweitert und auf einen Bruchstrich geschrieben:
[mm] \bruch{k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)*3}{3}
[/mm]
dann (k+1)(k+2) ausgeklammert:
[mm] \bruch{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}=\bruch{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}
[/mm]
also q.e.d.
Wäre über Feedback dankbar und, falls es so richtig ist, gibt es noch eine andere Möglichkeit die linke Hälfte der Gleichung in die Rechte zu überführen?
Danke schonmal im Voraus,
MFG
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Hallo Julian,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
> [mm]1\*2+2\*3+3\*4+...+n(n+1)= \bruch{n(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
> Hallo
> zusammen, ich habe die vollständige Induktion durchgeführt
> und fände es sehr nett, wenn sich jemand kurz die Zeit
> nehmen würde es zu beurteilen und evt. Tipps oder
> Verbesserungsvorschläge machen könnte!
> (Muss diese Aufgabe präsentieren und werde zusätzlich
> geprüft dazu):
> Also der Induktionssatz lautet:
> [mm]1\*2+2\*3+3\*4+...+n(n+1)= \bruch{n(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
>
> Der Induktionsanfang für n=1 heißt zu zeigen, dass diese
> Gleichung für n=1 stimmt: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]2=\bruch{2*3}{3}[/mm] (=2)
> 2=2, d.h. Voraussetzung für n=1 erfüllt.
>
> Der Induktionsschluss ist also n=k
der Schluss ist von n auf n+1 (oder k auf k+1)
> und damit ist die Induktionsvoraussetzung:
> [mm]1\*2+2\*3+3\*4+...+k(k+1)= \bruch{k(k+1)(k+2)}{3}[/mm]
>
> Die Induktionsbehauptung für den letztendlichen Beweis
> lautet:
> (n=k+1), k+1 für n eingesetzt
>
> [mm]1\*2+2\*3+3\*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+1+1)=\bruch{(k+1)(k+2)(k+3}{3}[/mm]
>
> Daraus entnimmt man den Induktionsschluss:
> [mm]1\*2+2\*3+3\*4+...+k(k+1)[/mm] muss wie oben gezeigt ist nach Induktionsvoraussetzung =
> [mm]\bruch{k(k+1)(k+2)}{3}[/mm] sein.
>
> also:
>
> [mm]\bruch{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\bruch{(k+1)(k+2)(k+3}{3}[/mm]
>
> nun gilt es nur noch die linke Seite der Gleichung in die
> Rechte zu überführen, um zu zeigen, dass die Bedingung
> erfüllt ist:
Ja!
>
> ich habe (k+1)(k+2) mit 3 erweitert und auf einen
> Bruchstrich geschrieben:
>
> [mm]\bruch{k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)*3}{3}[/mm]
> dann (k+1)(k+2) ausgeklammert:
> [mm]\bruch{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}=\bruch{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}[/mm]
> also q.e.d.
Jo, schön!
>
> Wäre über Feedback dankbar und, falls es so richtig ist,
> gibt es noch eine andere Möglichkeit die linke Hälfte der
> Gleichung in die Rechte zu überführen?
> Danke schonmal im Voraus,
Ja, das sieht sehr gut aus, du hast das Prinzip verstanden, du könntest es noch ein wenig raffen und die Bezeichnungen ein bisschen abändern 
Ach ja, ich würde Äquivalenzpfeile machen zwischen den Umformungsschritten der Gleichungen im Induktionsschritt.
Alternativ und üblich kannst du dir die linke Seite in der Induktionsbehauptung hernehmen und sie so mit Hilfe der IV umformen, dass am Ende die rechte Seite der Ind.beh. dasteht (die Rechnung dazu ist analog zu deiner)
Dann hast du "nur" eine Gleichheitskette und musst dir wegen Äquivalenzumformungen keinen Kopf machen
Aber ansonsten ist alles richtig!
> MFG
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Di 30.06.2009 | | Autor: | Theoretix |
vielen dank für die schnelle antwort!
hoffe, es geht alles gut, aber hab' zumindest die sicherheit, dass es richtig ist=)
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