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Hello again.
Also das mit der Induktion kriege ich jetzt immer besser hin. Allerdings weiß ich jetzt bei folgender Aufgabe nicht weiter. zu Beweisen ist die Formel:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k=(\bruch{n+1}{n!})^n
[/mm]
I- Anfang für n=1: [mm] (1+\bruch{1}{1})^1=(\bruch{1+1}{1!})^1 \Rightarrow [/mm] 2=2
I- Voruassetzung für n [mm] \ge [/mm] 1 gilt: [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k=(\bruch{n+1}{n!})^n
[/mm]
I- Behauptung dann gilt für n+1: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+\bruch{1}{k})^k=(\bruch{n+2}{(n+1)!})^{n+1}
[/mm]
Den I- Beweis wäre ich jetzt folgendermaßen angegangen: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+\bruch{1}{k})^k=\produkt_{i=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k*(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}\overset{IV}{=}(\bruch{n+1}{n!})^n*(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}...
[/mm]
...hier frag ich mich nun, ob das nicht einfacher ging. Oder kann ich das trotzdem so dann weiter beweisen. Denn das nun weiter zusammenzufassen ist ein bischen knackig oder???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Das sieht doch schon sehr gut aus bisher und auch geanu der richtige Weg. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bringe nun den Term in der 2. Klammer auf einen Bruchstrich und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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[mm] ...(\bruch{n+1}{n!})^n*(\bruch{n+1+1}{n+1})^{n+1}=(\bruch{n+1}{n!})^n*(\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}=(\bruch{(n+1)^n*(n+2)^{n+1}}{(n!)^n*(n+1)^{n+1}})=\bruch{(n+2)^{n+1}}{(n!)^n*(n+1)}...
[/mm]
Leider kenn ich mich nicht so sehr mit den Regeln zu Fakultäten aus das einzige was ich weiß ist, dass n!*(n+1)=(n+1)!. Aber was ist nun [mm] (n!)^n*(n+1)???
[/mm]
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 15.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] (n!)^{n}*(n+1)
[/mm]
[mm] =(n!)^{n}*(n)+(n!)^{n}*1
[/mm]
[mm] =(n!)^{n+1}+(n!)^{n}
[/mm]
Behandele das n! hier wie eine "Normale Variable" a
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:50 Fr 15.08.2008 | | Autor: | domenigge135 |
[mm] ...(\bruch{n+1}{n!})^n\cdot{}(\bruch{n+1+1}{n+1})^{n+1}=(\bruch{n+1}{n!})^n\cdot{}(\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}=(\bruch{(n+1)^n\cdot{}(n+2)^{n+1}}{(n!)^n\cdot{}(n+1)^{n+1}})=\bruch{(n+2)^{n+1}}{(n!)^n\cdot{}(n+1)^{n+1}}...
[/mm]
Dann kann ich auch schreiben:
[mm] \bruch{(n+2)^{n+1}}{(n!)^n\cdot{}(n+1)^{n+1}}=(\bruch{(n+2)^{n+1}}{((n+1)!)^{n+1}})=(\bruch{n+2}{(n+1)!})^{n+1}
[/mm]
MFG domenigge135
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> [mm][mm] ...(\bruch{n+1}{n!})^n\cdot{}(\bruch{n+1+1}{n+1})^{n+1}=(\bruch{n+1}{n!})^n\cdot{}(\bruch{n+2}{n+1})^{n+1}=(\bruch{(n+1)^n\cdot{}(n+2)^{n+1}}{(n!)^n\cdot{}(n+1)^{n+1}})
[/mm]
Hallo,
[mm] ...=\bruch{\green{(n+1)^n}\cdot(n+2)^{n+1}}{(n!)^n\cdot{}\green{(n+1)^n}*(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+2)^{n+1}}{(n!)^n*(n+1)},
[/mm]
und das ist nicht das Ergebnis, welches Du haben willst, denn Du bist ja dabei, die Beh. $ [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^k=(\bruch{n+1}{n!})^n [/mm] $ für alle [mm] n\in \IN [/mm] zu beweisen,
so daß man sich am Ende des Induktionsschlusses [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(1+\bruch{1}{k})^k=(\bruch{n+2}{(n+1)!})^{(n+1)} [/mm] wünschen würde.
Irgendwas muß also gründlich schiefgelaufen sein - oder die Behauptung, die Du beweisen möchtest, stimmt gar nicht.
Und dies ist tatsächlich der Fall: die Behauptung ist falsch.
Setz doch n=2 ein und berechne [mm] \produkt_{k=1}^{2}(1+\bruch{1}{k})^k [/mm] und [mm] (\bruch{2+1}{2!})^2.
[/mm]
Fällt Dir ein, wie die Behauptung richtig heißen muß?
Gruß v. Angela
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Sorry konnte aber deinem Post nur wenig folgen, weshalb ich leider nur sagen kann, dass mir nicht einfällt, wie die Behauptung heißen muss.
Also ich mache das ganze jetzt nochmal von vorn. Zu beweisen ist, dass [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}=(\bruch{n+1}{n!})^{n}
[/mm]
I- Anfang für n=1: [mm] (1+\bruch{1}{1})^{1}=(\bruch{1+1}{1!})^{1} \Rightarrow [/mm] 2=2
I- Anfang für n=2: [mm] (1+\bruch{1}{2})^{2}=(\bruch{2+1}{2!})^{2} \Rightarrow \bruch{9}{4}=\bruch{9}{4}
[/mm]
I- Anfang für n=3: [mm] (1+\bruch{1}{3})^{3}=(\bruch{3+1}{3!})^{3} [/mm] hier stimmt es dann meiner Meinung nach nicht mehr, wenn du das meinst!!! Ja und dann hast du natürlich recht. Vielleicht wäre [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}=\bruch{(n+1)^{n}}{n!} [/mm] angebrachter...
MFG domenigge135
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> Sorry konnte aber deinem Post nur wenig folgen, weshalb ich
> leider nur sagen kann, dass mir nicht einfällt, wie die
> Behauptung heißen muss.
>
> Also ich mache das ganze jetzt nochmal von vorn. Zu
> beweisen ist, dass
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}=(\bruch{n+1}{n!})^{n}[/mm]
>
> I- Anfang für n=1:
> [mm](1+\bruch{1}{1})^{1}=(\bruch{1+1}{1!})^{1} \Rightarrow[/mm] 2=2
> I- Anfang für n=2:
> [mm](1+\bruch{1}{2})^{2}=(\bruch{2+1}{2!})^{2} \Rightarrow \bruch{9}{4}=\bruch{9}{4}[/mm]
>
> I- Anfang für n=3:
> [mm](1+\bruch{1}{3})^{3}=(\bruch{3+1}{3!})^{3}[/mm] hier stimmt es
> dann meiner Meinung nach nicht mehr,
Hallo,
es stimmt schon für n=2 nicht mehr, Du ignorierst in Deinen Induktionsanfängen ja das Produktzeichen.
> Vielleicht wäre
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}=\bruch{(n+1)^{n}}{n!}[/mm]
> angebrachter...
Genau, das sollte sich dann beweisen lassen, und Du kannst dabei von dem profitieren, was Du zuvor gelernt hast.
Gruß v. Angela
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