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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 02.07.2008 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Es sei x eine reele Zahl größer als -1. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n die Bernoullische ungleichung gilt:
[mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] 1 + nx . |
so^^
also fuer n=1 gilt die ungleichung schonmal.
dann hab ich das versucht....also den ausdruck fuer n+1 mit hilfe des von n+1 zu schreiben:
[mm] (1+x)^{n+1} [/mm] = [mm] (1+x)^{n}(1+x) \ge [/mm] (IV) (1+nx)(1+x)= 1 + x + nx + [mm] nx^{2} [/mm] = (1 + nx) + (1 + nx)x....
also die erste klammer sntpricht da halt meiner gleichung fuer n. aber das recht halt nicht und wenn ich da weiter umforme dann beweg ich mich nur im kreis herum.
Bitte um Hilfe. Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo xcase!
Du bist doch fast am Ziel:
[mm] $$(1+x)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{(1+x)^n}*(1+x) [/mm] \ [mm] \blue{\ge} [/mm] \ [mm] \blue{(1+n*x)}*(1+x) [/mm] \ = \ [mm] 1+x+n*x+n*x^2 [/mm] \ = \ 1+x*(1+n)+ \ [mm] \underbrace{\red{n*x^2}}_{\ge \ 0} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 1+(n+1)*x+ \ [mm] \red{0} [/mm] \ = \ 1+(n+1)*x \ \ \ [mm] \text{q.e.d.}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Mi 02.07.2008 | | Autor: | xcase |
danke dir :)
oh man....das war jetzt aber schon ein bisschen blind von mir. hehe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Mi 02.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Ist dir auch klar warum man x>-1 fordert?
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