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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
ich möchte diese Formel zeigen :
[mm] (B+\lambda [/mm] * [mm] I_{n})^{m} [/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{m} \vektor{m \\ k} \lambda^{m-k} B^{k}
[/mm]
Induktionsanfang hab ich
Induktionsschritt
[mm] (B+\lambda [/mm] * [mm] I_{n})^{m+1} [/mm]
= [mm] (B+\lambda [/mm] * [mm] I_{n})^{m} [/mm] * [mm] (B+\lambda [/mm] * [mm] I_{n})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{m} \vektor{m \\ k} \lambda^{m-k} B^k
[/mm]
* [mm] (B+\lambda [/mm] * [mm] I_{n})
[/mm]
..........
= [mm] \summe_{k=1}^{m+1} \vektor{m+1 \\ k} \lambda^{m+1-k} B^k
[/mm]
Das habe ich ja zu zeigen
wie mache ich das?
Habt Dank für Rat
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Thomas,
multipliziere zunächst die Summe distributiv mit der Klammer, also
$\left(\sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k}B^k\right)\cdot{}(\blue{B}+\green{\lambda I_n})$
$=\sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k}B^k\cdot{}\blue{B} \ + \ \sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k}B^k\cdot{}\green{\lambda I_n}$
$=\sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k}B^{k\blue{+1}} \ + \ \sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k\green{+1}}B^k$
Nun mache in der ersten Summe eine Indexverschiebung, setze den Laufindex k um 1 rauf und gleiche das aus, indem du k in der Summe um 1 hinabsetzt..
Bsp. $\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)=1+2+...+n=\sum\limits_{k=1}^{n}k=1+2+...+ n$
Also $=\sum\limits_{k=1}^{m+1}\vektor{m\\k-1}\lambda^{m-(k-1)}B^{(k-1)+1} \ + \ \sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k+1}B^k$
$=\sum\limits_{k=1}^{m+1}\vektor{m\\k-1}\lambda^{m-k+1}B^{k} \ + \ \sum\limits_{k=0}^m\vektor{m\\k}\lambda^{m-k+1}B^k$
Wenn du dir nun mal anschaust, was du in der ersten Summe bekommst, wenn du k=0 einsetzt, siehst du, dass das 0 ist, du würdest eine Null addieren und nix ändern. Darum kannst du die erste Summe bei k=0 loslaufen lassen
Ähnliches machst du mit der 2.Summe, was erhältst du für k=m+1?
Auch 0, denn $\vektor{m\\m+1}=0$
Also kannst du die 2.Summe auch genauso gut bis m+1 laufen lassen
Also $=\sum\limits_{k=0}^{m+1}\vektor{m\\k-1}\lambda^{m-k+1}B^{k} \ + \ \sum\limits_{k=0}^{m+1}\vektor{m\\k}\lambda^{m-k+1}B^k$
Nun zusammenziehen:
$=\sum\limits_{k=0}^{m+1}\left[\vektor{m\\k-1}+\vektor{m\\k}\right]\lambda^{m-k+1}B^{k}$
Nun gibt's ein "Additionstheorem" für Binomialkoeffizienten $\vektor{n\\k}+\vektor{n\\k+1}=\vektor{n+1\\k+1}$
Also hast du schlussendlich
$=\sum\limits_{k=0}^{m+1}\left\vektor{m+1\\k}\lambda^{m-k+1}B^{k}$
LG
schachuzipus
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