Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 20.01.2008 | | Autor: | Max80 |
Hallo zusammen!
Ich versuche grade die vollständige Induktion zu verstehen, komme aber einfach immer wieder durcheinander, weil immer wieder verschiedene Sachen gemacht werden in den unterschiedlichen Beispielen im Internet. Dabei wird nur gerechnet und gerechnet und ich habe noch kein Beispiel gefunden, bei dem auch mal erklärt wird, was man denn überhaupt zu rechne hat. Beispiel für folgendes:
[mm] \sum^n_{i=1} [/mm] (2i-1) = [mm] n^2
[/mm]
bis dahin hab ich es verstanden:
[mm] \sum^{n+1}_{i=1} [/mm] (2i-1) = [mm] (n+1)^2
[/mm]
im prinzip einfach n+1 setzen. aber wie es von dort an weitergeht.....
und vorallem WARUM.... ich bin etwas ratlos momentan.
danke!!
gruß
Bunti
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 20.01.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo Bunti,
ich habe diese auch erst vor kurzem kennen gelernt.
das Prinzip ist recht einfach:
- du zeigst die gültigkeit der Basis
- du machst eine annahme das es für jeden element gilt.
- du zeigst es für das nächste element.
und Warum man das macht, wenn du das für ein bzw für das nächste ( nachvolgende ) element bewiesen hast, heist es nichts anderes dass diese Formel algemein gültig ist und du es für jedes element beweisen kannst....
> bis dahin hab ich es verstanden:
> $ [mm] \sum^{n+1}_{i=1} [/mm] $ (2i-1) = $ [mm] (n+1)^2 [/mm] $
das ist schon mal gut!
bevor du es vergessen hast nochmal deine Annahme:
$ [mm] \sum^{n}_{i=1} (2i-1)=n^2$
[/mm]
Induktionschritt:
$ [mm] \sum^{n+1}_{i=1} [/mm] $ (2i-1) = $ [mm] (n+1)^2 [/mm] $
nun must du den Ausdruck so umformen damit du einen aus der annahme term hast.
ich nehme den term von der rechten seite des Induktionschrittes.
[mm] $\sum^{n+1}_{i=1} [/mm] (2i-1) = [mm] \sum^{n}_{i=1} [/mm] (2i-1) + (2(n+1)-1) = [mm] \sum^{n}_{i=1} [/mm] (2i-1) + (2n+1)$
hier must du erkennen das der ausdruck
[mm] \sum^{n}_{i=1} [/mm] (2i-1) genau wie die linke seite der Annahme ist.
ab hier geht es mit dem gedanken: wenn ich jetzt den linken teil der Annahme dafür einsetze muss doch logischerweise die rechte seite des Induktionsschrittes rauskommen.
genau das must du beweisen!
[mm] $\sum^{n}_{i=1}(2i-1) [/mm] + (2n+1) = [mm] n^2 [/mm] + (2n+1) = [mm] n^2 [/mm] + [mm] 2n+1)=(n+1)^{2} [/mm] $
und siehe da du hast die rechte seite der Induktions annahme, das ist was zu beweisen war!
du hast den term quasi so umgeform für das n-te und (n+1)te element umgeformt, für das n-te element hast du was Angenomen wurde eingesetzt und nun hast du daruch das n+1 te elemet der anderen seite.
wenn du mit summen arbeitest ist dieses prinzip immer gut, aber normal gibt es keine vorschrift wie du das zu beweisen hast!
ich hoffe das war klar genung 
mfg
masa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Max80 |
hi!
erstmal danke für deine antwort!
ich kann leider noch nicht ganz folgen. :(
was ich aber verstanden habe ist das prinzip: ich habe eine annahme, erhöhe n um eins, und muss eine seite des erhöhten terms mit dem der annahme gleichsetzen! richtig?
nun zu deinem rechenweg:
wie du zu
[mm] \sum^{n+1}_{i=1} [/mm] (2i-1) = [mm] \sum^{n}_{i=1} [/mm] (2i-1) + (2(n+1)-1) = [mm] \sum^{n}_{i=1} [/mm] (2i-1) + (2n+1)
kommst ist mir ein rätsel. zumal wir hier 3 gleichungsteile haben. was ist jetzt linke seite, und was rechte? und wie kommst du von [mm] (n+1)^2 [/mm] (den rechten teil, den du umformen wolltest) zu [mm] \sum^{n}_{i=1} [/mm] (2i-1) + (2(n+1)-1) ???
bleibe hier irgendwie hängen :(
danke!!
|
|
|
| |
|
Hallo!
> hi!
>
> erstmal danke für deine antwort!
>
> ich kann leider noch nicht ganz folgen. :(
> was ich aber verstanden habe ist das prinzip: ich habe
> eine annahme, erhöhe n um eins, und muss eine seite des
> erhöhten terms mit dem der annahme gleichsetzen! richtig?
>
> nun zu deinem rechenweg:
>
> wie du zu
> [mm]\sum^{n+1}_{i=1}[/mm] (2i-1) = [mm]\sum^{n}_{i=1}[/mm] (2i-1) +
> (2(n+1)-1) = [mm]\sum^{n}_{i=1}[/mm] (2i-1) + (2n+1)
In der ersten Summe gehst du bis n+1. das ist ja noch klar das musst du dann so umformen dass du deine Induktionsvoraussetztung einsetzen kannst. Es gilt doch offensichtlich [mm] \summe_{i=1}^{n+1}x_{i} [/mm] := [mm] (\summe_{i=1}^{n}x_{i})+x_{n+1}. [/mm] Was meinst du mit linke rechte seite? Ein gleichheitszeichen ist doch dadurch definiert dass alle seiten gleich sind. Die zweite Summe ist nicht anderes als die dritte da wurde doch nur die klammer aufhelöst mehr nicht
> kommst ist mir ein rätsel. zumal wir hier 3
> gleichungsteile haben. was ist jetzt linke seite, und was
> rechte? und wie kommst du von [mm](n+1)^2[/mm] (den rechten teil,
> den du umformen wolltest) zu [mm]\sum^{n}_{i=1}[/mm] (2i-1) +
> (2(n+1)-1) ???
Hier wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt. Die Induktionsvorrausetzung war [mm] \summe_{i=1}^{n}(2i-1) [/mm] das wir einfach durch n² erstzte ist ja beides gleich. dann folgt n²+2n+1=(n+1)² Und du bist fertig
> bleibe hier irgendwie hängen :(
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
>
> danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Di 22.01.2008 | | Autor: | Max80 |
danke erstmal für die antworten!
scheinbar habe ich null mathe-verständnis. ich habs immer noch nicht verstanden :(
es sind noch nicht mal die umformungen glaube ich. ich verstehe gar nicht wo was her kommt und was wir womit machen müssen.
ich habe folgende annahme:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (2i-1) = [mm] n^2
[/mm]
ich zeige durch einsetzen n=1:
[mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] (2*1-1) = [mm] 1^2 [/mm] => 1=1 => wahr!
nun soll ich zeigen, dass selbiges für n+1 gilt. also sag ich:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] (2i-1) = [mm] (n+1)^2
[/mm]
so: n+1 überall. soweit klar. was ich jetzt noch verstanden hab ist, dass ich eine der beiden seiten dort umformen muss. aber was genau? was will ich denn jetzt überhaupt machen mit der gleichung und mit welcher seite und wo nehme ich was her? bin etwas durcheinander :(
danke!!!!
LG
Bunti
|
|
|
| |
|
Hallo bunti,
vorab nochmal kurz zur Struktur des Induktionsbeweises:
Das ist wie ein Dominoeffekt, wenn der erste Stein umfällt und mit einem beliebigen (n-ten) Stein auch der nachfolgende (n+1-te) Stein umfällt, dann fallen alle um 
Also wenn du eine Aussage A hast und zeigst, dass gilt:
(1) A(1) - also die Aussage für n=1 gilt
(2) [mm] A(n)\Rightarrow [/mm] A(n+1) - Wenn die Aussage für ein beliebiges n gilt, dann auch für n+1,
dann gilt die Beh. für alle natürlichen Zahlen
A(1) ist der Induktionsanfang
Im Induktionsschritt [mm] n\to [/mm] n+1 musst du zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung A(n) gefälligst auch A(n+1) gilt
Was heißt das hier:?
Im Induktionsanfang musst du zeigen, dass die Beh. für n=1 gilt, dass also [mm] $\sum\limits_{i=1}^{\red{1}}(2i-1)=\red{1^2}$ [/mm] gilt
Das hast du getan ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun im Induktionsschritt [mm] n\to [/mm] n+1 hast du die Induktionsvoraussetzung: "Gelte die Beh. für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$"
[/mm]
Hier also: gelte [mm] $\sum\limits_{i=1}^{\red{n}}(2i-1)=\red{n^2}$
[/mm]
Unter dieser gegebenen Voraussetzung musst du zeigen, dass DANN die Beh. auch für den Nachfolger dieses n, also für n+1 gilt (-->Domino )
Also zu zeigen: [mm] $\sum\limits_{i=1}^{\blue{n+1}}(2i-1)=\blue{(n+1)^2}$
[/mm]
Dazu nehme dir die linke Seite der zu zeigenden Behauptung her und forme sie um, so dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst - die ist ja als gegeben vorausgesetzt - und du schlussendlich die rechte Seite der zu zeigenden Beh. hinbastelst
Also wie oben schon beschrieben
[mm] $\green{\sum\limits_{i=1}^{n+1}(2i-1)}=\red{\left(\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)\right)}+(2(n+1)-1)$
[/mm]
Da habe ich den letzen Summanden der Summe hinten dran geschrieben, so dass die Summe jetzt bis n läuft und wir die Induktionsvoraussetzung benutzen können:
[mm] $=\red{n^2}+(2(n+1)-1)=n^2+2n+1=\green{(n+1)^2}$
[/mm]
Ich hoffe, das war nicht zu viel wiederholt und klein-klein
Falls doch, überlies es einfach
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:49 Di 22.01.2008 | | Autor: | Max80 |
ich danke dir für die ausführliche antwort! dank der farben, hab sogar ich es jetzt verstanden =) im prinzip gehts nur darum, dass ich zeige, dass nach induktionsschritt trotzdem immer noch auf beiden seiten das gleiche is... =)
danke!!
LG
Bunti
PS: ich glaube wenn ich die mathe prüfung bestehe, dann nur wegen diesem forum hier! :)
|
|
|
|
