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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Für k [mm] \ge [/mm] -1, n E [mm] \IN [/mm] gilt:
[mm] (1+k)^n \ge [/mm] 1+n*k
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Beweis:
Induktionsbeginn:
n=1
[mm] (1+k)^1 \ge [/mm] 1 + 1*k
= (1+k) [mm] \ge [/mm] 1+k
Induktionsschritt:
n=n+1
(1+k)^(n+1) [mm] \ge [/mm] 1+(n+1)*k
Also: (1+k)^(n+1) = [mm] (1+k)^n [/mm] * (1+k) [mm] \ge [/mm] (1+k) (1+k)
Ok. Dass man das (1+k) rausziehen kann, wegen den Potenzgesetzen sehe ich. Aber warum auf der anderen Seite auch? Ich ziehe es doch nur raus, also auf der linken Seite ändert sich ja nix.
Und wie geht die Induktion dann weiter??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Sa 12.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ganz einfach:
[mm] (1+k)^{n+1}=(1+k)^n(1+k)\ge(1+nk)(1+k)=1+(n+1)k+nk^2>1+(n+1)k
[/mm]
Versuche nicht rechte und linke Seite auf einmal umzustellen, sondern fange mit der rechten Seite an und schätze so lange ab, bis du auf die linke kommst.
Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:33 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Torboe |
aber 1+(n+1)*k + nk² ist doch nicht dasselbe wie (1+k)^(n+1) ?! ich mein, ich muss irgendwie auf 1+(n+1)*k kommen oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torboe!
Selbstverständlich ist das nicht dasselbe. aber da steht doch auch ein "größer als"-Zeichen $>_$ dazwischen, da hier mittels Induktionsvoraussetzung sowie ein weiteres mal abgeschätzt wurde.
Gruß
Loddar
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