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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 27.11.2007 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{n}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] |
Die Behauptung ist:
[mm] \bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{n}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
Dann für 1:
[mm] \bruch{1}{1*2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+1}
[/mm]
Ist wahr.
Nun die Rückführung auf n+1
Die kriege ich nicht hin, kann mir da vll. jemand den Ansatz posten?
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hi,
leider bin ich nicht sonderlich gut mit induktion.
aber sobald du deine induktionsverankerung mit einem anderen Wert als n=1 versuchst.
klaüppt es ja schon nicht
[mm] \bruch{2}{2*(2+1)}=\bruch{2}{2+1}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}=\bruch{2}{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Di 27.11.2007 | | Autor: | moody |
Sorry habe mich verschrieben. Im letzten Summanden muss oben 1 statt n stehen.
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Hallo moody,
hmm, das scheint mir nicht ganz richtig ab- bzw. aufgeschrieben zu sein:
[mm] >\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{\red{1}}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
> Die Behauptung ist:
>
> [mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{\red{1}}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
> Dann für 1:
>
> [mm]\bruch{1}{1*2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+1}[/mm]
>
> Ist wahr. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun die Rückführung auf n+1
>
> Die kriege ich nicht hin, kann mir da vll. jemand den
> Ansatz posten?
Mit Summenzeichen geschrieben ist die Beh.:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot{}(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ musst du zeigen, dass unter der
Induktionsvoraussetzung: Gelte für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm]
die Beh., also [mm] $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$
[/mm]
gefälligst auch gilt: [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n+1}{n+2}$
[/mm]
Dazu nimm dir die linke Seite her und forme sie so um, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst:
Also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\right)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
Hier habe ich nur aus der Summe ganz links den letzten Summanden (den für k=n+1) rausgenommen und extra geschrieben
Nun kannst du auf den [mm] \red{roten} [/mm] Term die Induktionsvoraussetzung anwenden
Mache das mal und fasse anschließend zusammen, so das am Schluss [mm] $...=\frac{n+1}{n+2}$ [/mm] dasteht
Es ist nicht mehr weit bis zum Ziel 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 27.11.2007 | | Autor: | moody |
Danke erstmal.
> Hier habe ich nur aus der Summe ganz links den letzten
> Summanden (den für k=n+1) rausgenommen und extra
> geschrieben
Das ist mir unklar.
Warum ist denn die Summe gleich der Summe + letzter Summand?
> Nun kannst du auf den [mm]\red{roten}[/mm] Term die
> Induktionsvoraussetzung anwenden
dh.?
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Hi,
ich mache mal ein Beispiel, dann siehste das:
Nehme wir mal [mm] $\sum\limits_{k=1}^{5}k$
[/mm]
Das ist $=1+2+3+4+5$ , klar, oder?
Das kann ich schreiben als [mm] $\blue{(1+2+3+4)}+5$ [/mm] , auch klar, oder?
Dann kann ich [mm] \blue{1+2+3+4} [/mm] wieder als Summe schreiben:
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^4k$
[/mm]
Dazu muss ich noch den Summanden für k=5, hier also die 5 addieren, also habe ich insgesamt
[mm] $\sum\limits_{k=1}^5k=\left(\sum\limits_{k=1}^4k\right)+5$
[/mm]
Anderes Bsp. [mm] $\sum\limits_{k=1}^3\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}=\left(\sum\limits_{k=1}^2\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{3}$
[/mm]
Das gleiche kann ich mit ner Summe machen, die nicht von k=1 bis 5, sondern allg. von k bis zB n+1 läuft.
Ich nehme den letzten Summanden raus, dann läuft die Summe nur noch bis n. Dazu muss ich dann den letzten Summanden, also den für k=n+1,
noch dazu addieren
Ok?
Mit "du kannst die Ind.vor. benutzen" meine ich, dass du den roten Ausdruck [mm] \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)} [/mm] durch den in der Ind.vor. ersetzen sollst, also durch [mm] \frac{n}{n+1}.
[/mm]
Kommst du nun weiter?
Sonst frag nochmal nach
LG
schachuzipus
Genau darum h
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 27.11.2007 | | Autor: | moody |
Ja danke verstanden hab ich's jetzt.
Ich hak peinlicherweise beim Rechnen:
[mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] =
Das krieg ich einfach nicht raus...
Ich komm auf
[mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+2)+n+1}{(n+2)(n+1)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ja danke verstanden hab ich's jetzt.
>
> Ich hak peinlicherweise beim Rechnen:
Das ist meistens so geht mir nicht anders
>
> [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] =
>
> Das krieg ich einfach nicht raus...
>
> Ich komm auf
>
> [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+2)+\red{n}+1}{(n+2)(n+1)}[/mm]
Irgendwie hast du das rote n dazugepfuscht, wo kommt das her?
Du musst ja lediglich den ersten Bruch mit n+2 erweitern, dann hast du doch insgesamt
[mm] $\frac{\red{n(n+2)}}{(n+1)(n+2)}+\frac{\blue{1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{\red{n(n+2)}+\blue{1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Di 27.11.2007 | | Autor: | moody |
Danke!
Hab ja auch so erweirtert aber dummerweise immer wieder dieses n dabei gepackt^^
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