Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 18.11.2007 | | Autor: | damien_ |
| Aufgabe | Beispiel 24
Beweisen Sie diese Aussagen mit vollständiger Induktion.
a) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: \summe_{i=1}^{n} 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{n + 1} [/mm] - 2
b)
c) |
Hallo,
meine frage ist jetzt wie ich eine vollständige Induktion ausführen soll
Ist es möglich dass mir jemand die vollständige Induktion, insbesondere den Ansatz und wie ich die Laufvariable miteinbeziehen soll, an Hand von Beispiel a) erklären kann?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 18.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
vollst Induktion sagt:
1. zeige dass die Beh für ein Anfangs [mm] n_0 [/mm] (meistens n=1) richtig ist.
2. Nimm an, es gilt für ein [mm] n\ge n_0 [/mm] dann zeige dass es aauch für n+1 gilt.
Idee dabei, mit dem 2. Schritt hast du allgemein gezeigt, wenn s für [mm] n_0 [/mm] gilt, dann auch für [mm] n_0+1 [/mm] dann auch für [mm] n_0+2... [/mm] usw.usw.
Deine Formel
> Beweisen Sie diese Aussagen mit vollständiger Induktion.
> a) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: \summe_{i=1}^{n} 2^{i}[/mm] = [mm]2^{n + 1}[/mm] -
1. Schritt n=1 prüfe:
[mm]\summe_{i=1}^{1} 2^{i}[/mm] = [mm]2^{1 + 1}-2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
einsetzen: 2=2^2-2 ist richtig.
Induktionsvorraussetzung:
$\summe_{i=1}^{n} 2^{i} = 2^{n + 1} - 2$
ist richtig.
Daraus zu zeigen
$\summe_{i=1}^{n+1} 2^{i} = 2^{n+1 + 1} - 2$
gilt
Der eigentliche Schritt ist jetzt:
$\summe_{i=1}^{n+1} 2^{i}=\summe_{i=1}^{n} 2^{i}+2^{n+1}$
der erste Teil ist laut Ind.vors 2^{n+1}-2
also setz ich ein:
$\summe_{i=1}^{n} 2^{i}+2^{n+1}=2^{n+1}-2 +2^{n+1}$
jetzt rechte Seite umformen:
=2*2^{n+1}-2=2^{n+2}-2
also die Behauptung.
aus der Indvors folgt die Induktionsbeh.
Jetzt musst du das auf andere Fälle anwenden!
probier mal $\summe_{i=0}^{n} 3^{i} =\bruch{1}{2}*(3^{n+1)-1)
(Vorsicht, die Summe fängt hier bei 0 an, nicht bei 1)
Gruss leduart
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