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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Sa 13.10.2007 | | Autor: | LisaRuby |
| Aufgabe | Beweise folgenden Satz mit dem Beweisverfahren der vollständigen Induktion:
[mm] 1^4+2^4+3^4+...+k^4 [/mm] = 1/30k [mm] (k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1) [/mm] |
Beim Schluss von k auf k+1 habe ich Probleme.
Induktionsannahme:
[mm] 1^4+2^4+3^4+...+k^4=1/30k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)
[/mm]
Induktionsbehauptung: (k+1 für k einsetzen
[mm] 1^4+2^4+3^4+...+(k+1)^4=1/30(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)^2+3(k+1)-1)
[/mm]
Schluss von k auf k+1
[mm] 1^4+2^4+3^4+...+k^4 [/mm] = 1/30 k [mm] (k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1) /+(k+1)^4
[/mm]
= 1/30 [mm] (2k^3+k^2+2k^2+k)(3k^2+3k-1) [/mm] + [mm] k^4 +2k^3+k^2+2k^3+4k^2+2k+k^2+2k+1
[/mm]
= 1/30 [mm] (6k^5+16k^4+14k^3+6k^2+3k+1)
[/mm]
Hier komme ich nun leider nicht weiter...
=1/30 [mm] (12k^5+84k^4+226k^3+290k^2+156k+60)
[/mm]
= 1/30 [mm] (12k^5+24k^4+10k^3+24k^4+48k^3+20k^2+36k^4+72k^3+30k^2+72k^3+144k^2+60k+24k^3+48k^2+20+48k^2+96k+40
[/mm]
= 1/30 [mm] (2k^3+4k^2+6k^2+12k+4k+8)(6k^2+12k+5)
[/mm]
= 1/30 [mm] (k^2+3k+2)(2k+4)(3k^2+6k+3+3k^2+6k+2) =1/30(k+1)(k+2)(2k+4)(3(k^2+2k+1)+3(k^2+2k+1)-1)
[/mm]
[mm] 1^4+2^4+...+(k+1)^4=1/30(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)^2+3(k+1)-1
[/mm]
Meine Frage:
Stimmt das soweit oder bin ich auf dem falschen Weg?
Liebe Grüße,
Lisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 13.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd aus dem Schritt erstmal (k+1) bei dem behaupteten und dem aus Ind Vors. berechneten ausklammern.
Dann einfach beide Ausdrücke ausrechnen, und zeigen, dass sie gleich sind.
meist gibt es auch noch nen Weg, geschickt auszuklammern, aber da man den oft nicht sieht, nur das offensichtliche ausklammern und dann stur nach Potenzen geordnet ausrechnen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 13.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nur so ein Tipp: Manchmal hilt es, das Ziel zu kennen, deswegen macht es meistens sinn, den Endterm, auf den du für k+1 kommen willst, ausumultiplizieren.
ALso hier:
[mm] \buch{1}{30}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)²+3(k+1)-1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{30}(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+6k+1+3k-2)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{30}(k²+3k+2)(2k+3)(3k²+9k-1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{30}(2k³+9k²+13k+6)(3k²+9k-1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{30}(6k^{5}+18k^{4}-2k³+27k^{4}+81k³-9k²+16k³+117k²-13k+18k²+54k-6)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{30}(6k^{5}+45k^{4}+95k³+126k²-13k+41k-6)
[/mm]
Und wenn du jetzt
[mm] \underbrace{1^{4}+2^{4}+...+k^{4}}_{=\bruch{1}{30}k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1),I.V}+(k+1)^{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{30}k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)+(k+1)^{4}
[/mm]
Ausmultiplizierst, solltest du auf das obere ausmultiplizierte kommen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 14.10.2007 | | Autor: | LisaRuby |
| Aufgabe | $ [mm] \buch{1}{30}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)²+3(k+1)-1) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{30}(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+6k+1+3k-2) [/mm] $ |
Ich habe eine Frage zu diesem Schritt
$ [mm] \buch{1}{30}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)²+3(k+1)-1) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{30}(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+6k+1+3k-2) [/mm] $
Ich hätte 3(k+1)-1
anders ausgerechnet, nämlich 3k+3-1 also 3k+2
Kann mir jemand vielleicht helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 14.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, Rex hat sich verrechnet oder verschrieben.
es muss 3k+2 heissen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 So 14.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
da ist noch ein Fehler beim Ausmultiplizieren passiert.
[mm] \bruch{1}{30}[(k+1)(k+2)(2k+3)(3(k+1)^{2}+3(k+1)-1)]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{30}[(k+1)(k+2)(2k+3)(3k^{2}+9k+5)]
[/mm]
LG, Martinius
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