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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Di 25.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Zu beweisen:
1+2+...+k = [mm] \bruch{1*k*(k+1)}{2}
[/mm]
I.A.
[mm] 1=\bruch{1*1*(1+1)}{2}
[/mm]
1=1
I.V. siehe Aufgabenstellung
I.S.
[mm] 1+2+...+k+(k+1)=\bruch{1*(k+1)*((k+1)+1)}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1*k*(k+1)+2(k+1)}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{k²+3k+2}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}
[/mm]
Ist das so richtig?
Mfg
dau2
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Hallo dau2!
> Zu beweisen:
>
> 1+2+...+k = [mm]\bruch{1*k*(k+1)}{2}[/mm]
Mmh - etwas umständlich aufgeschrieben - warum denn "ein mal k"? "k" hätte doch auch gereicht. 
> I.A.
>
> [mm]1=\bruch{1*1*(1+1)}{2}[/mm]
> 1=1
>
>
> I.V. siehe Aufgabenstellung
>
> I.S.
>
> [mm]1+2+...+k+(k+1)=\bruch{1*(k+1)*((k+1)+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1*k*(k+1)+2(k+1)}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{k²+3k+2}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}[/mm]
>
>
> Ist das so richtig?
Ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Es sollte nur klar sein, was du machst. Also beim IA solltest du vielleicht noch dazu schreiben, dass k=1 gilt, und dass dann [mm] 1=\frac{1*1*(1+1)}{2} [/mm] zu zeigen ist, was man meist durch ein Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen deutlich macht. Genauso beim IS - die erste Gleichung ist das, was zu zeigen ist, und du formst in jedem Schritt beide Seiten um. Das heißt, du willst jeweils die Gleichung zeigen (sie ist also noch nicht als gültig vorausgesetzt), erst dadurch, dass die Gleichheit in der letzten Gleichung offensichtlich gilt, ist sie bewiesen. Also am besten noch überall ein Ausrufezeichen drüber.
Verstehst du, was ich meine?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 25.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Diese Lösung ist aus einem Mathe Script:
I.S.
[mm] \underbrace{1+2+...+k}_{=Ind. vor.}+(k+1)=\underbrace{\bruch{1}{2}k(k+1)}_{=Ind. vor.}+(k+1)=\bruch{1}{2}(k+1)(k+2)=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1)
[/mm]
Damit ist:
[mm] 1+2+...k+(k+1)=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1)
[/mm]
gezeigt, was genau A(k+1) entspricht.
Ich sehe da viele Bahnhöfe....
Wie kann man diesen Beweis deuten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
das einzige, was mir zur Verdeutlichung einfällt, ist folgendes:
Du sollst zeigen, dass [mm] 1+2+....+k=\bruch{k*(k+1)}{2}, [/mm] dass heißt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Induktionsanfang: "n=1:"
linke Seite: [mm] \summe_{k=1}^{1}k=1
[/mm]
rechte Seite: [mm] \bruch{1*(1+1)}{2}=1
[/mm]
Insgesamt: [mm] \summe_{k=1}^{1}k=\bruch{1*(1+1)}{2}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n*(n+1)}{2} {\forall n\in\IN\setminus\{0\}}
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] "n\to{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k=\summe_{k=1}^{n}k+(n+1)\underbrace{=}_{IV}\bruch{n*(n+1)}{2}+(n+1)=\bruch{n*(n+1)}{2}+\bruch{2*(n+1)}{2}=\bruch{n*(n+1)+2*(n+1)}{2}=\bruch{n^2+n+2n+2}{2}=\bruch{n^2+3n+2}{2}=\bruch{(n+1)*((n+1)+1)}{2}
[/mm]
Vielleicht ist es jetzt ein wenig klarer?
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 25.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Ja, so in etwa habe ich das ja auch gerechnet...
Ich verstehe die Aufgabe schon, da mein Beweis auch richtig ist habe ich es auch verstanden.
Aber die Lösung des Scripts sieht einfach völlig willenlos aus ohne zusammenhang.
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
willenlos ist es nicht - es ist eher unübersichtlich.
> $ [mm] \red{\underbrace{1+2+...+k}_{=Ind. vor.}}\green{+(k+1)}=\red{{\bruch{1}{2}k(k+1)}}\green{+(k+1)}=\bruch{1}{2}(k+1)(k+2)=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1) [/mm] $
Nach Induktionsvoraussetung gilt: [mm] 1+2+....+k=\bruch{k*(k+1)}{2}=\bruch{1}{2}*k*(k+1) [/mm] (das ist der rote Teil.)
Es gilt also für k, man will es aber für k+1 beweisen(siehe grünen Teil!).
Jetzt muss man es eben geschickt zusammenfassen, sodass anstelle des k nun k+1 steht.
Im Grunde steht im Skript nichts anderes, als das, was du auch gemacht hast. Nur das deine Aufzeichnung evtl. übersichtlicher und ausführlicher ist.
So, wie es bei dir im Skript steht, würde ich das in keiner Klausur beweisen; viel zu kurz und zu unübersichtlich (kleiner Tipp am Rande).
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Di 25.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Das k durch k+1 ersetzen ist einfach, aber ich kann das doch nicht einfach bei jeder Induktion so machen?
Das wäre zu simpel.
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 26.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Das k durch k+1 ersetzen ist einfach, aber ich kann das
> doch nicht einfach bei jeder Induktion so machen?
bloß nicht! Du darfst es nicht einfach "ersetzen."
Ich meine das so:
Du hast in einem Post von dir stehen
[mm] ...=\bruch{k²+3k+2}{2}
[/mm]
Das musst du jetzt geschickt umformen:
[mm] =\bruch{k²+3k+2}{2}=\bruch{(k+1)*(k+2)}{2}=\bruch{(k+1)*((k+1)+1)}{2}
[/mm]
Und jetzt ähnelt es der Ausgangssituation: [mm] 1+2+....+k=\bruch{k\cdot{}(k+1)}{2}
[/mm]
siehe auch hier beim Induktionsschritt. Hier habe ich auch solange umgeformt!
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mi 26.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Achso, aber ich könnte auch die linke Seite soweit umformen das sie der rechten entspricht richtig?
Das wäre dann zwar nicht die Indunktions Voraussetzung aber durch das = sollte es stimmen?
Mfg
dau2
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> Achso, aber ich könnte auch die linke Seite soweit umformen
> das sie der rechten entspricht richtig?
> Das wäre dann zwar nicht die Indunktions Voraussetzung
> aber durch das = sollte es stimmen?
Hallo,
na, ob ich diese Frage richtig verstanden habe...
Die linke Seite wovon genau?
Falls Du das meinst:
Ob Du im Induktionsschluß mit 1+2+...+k+(k+1) startest und zeigst, daß dieses [mm] =\bruch{(k+1)(k+2)}{2} [/mm] ist,
oder ob Du mit [mm] \bruch{(k+1)(k+2)}{2} [/mm] beginnst und zeigst, daß das =1+2+...+k+(k+1) ist, ist egal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 26.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Die Frage war vielleicht einfach zu simpel...
Anfang:
> [mm]1+2+...+k+(k+1)=\bruch{1*(k+1)*((k+1)+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1*k*(k+1)+2(k+1)}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}[/mm]
>
Ende:
> [mm]\bruch{k²+3k+2}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}[/mm]
linke = rechte Seite.
Das man halt nicht zwangsläufig wieder auf die Induktionsvoraussetzung kommen muss?
Hoffe das war verständlich.
Mfg
dau2
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> Die Frage war vielleicht einfach zu simpel...
>
> Anfang:
> > [mm]1+2+...+k+(k+1)=\bruch{1*(k+1)*((k+1)+1)}{2}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1*k*(k+1)+2(k+1)}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}[/mm]
> >
> Ende:
> > [mm]\bruch{k²+3k+2}{2}=\bruch{k²+3k+2}{2}[/mm]
>
>
> linke = rechte Seite.
> Das man halt nicht zwangsläufig wieder auf die
> Induktionsvoraussetzung kommen muss?
>
> Hoffe das war verständlich.
Hallo,
ich verstehe jetzt, was Du meinst.
Du hast am Anfang die zu beweisende Aussage [mm] 1+2+...+k+(k+1)=\bruch{(k+1)*((k+1)+1)}{2},
[/mm]
und Du formst sie durch Äquivalenzumformungen so um, daß Du am Ende etwas Wahres dastehen hat.
Wenn das, mit dem Du gestartet bist, äquivalent ist zu etwas Richtigem, dann ist es richtig.
Man kann das so machen.
Ich rate aus zwei Gründen davon ab, das bei der Induktion so zu tun.
1. finde ich es häßlich, das muß man aber nicht zu seinem eigenen Grund machen...
2. kannst Du, wenn Du es bei der Induktion mit Ungleichungen zu tun hast, bei welchen ja üblicherweise abgeschätzt wird, in Teufels Küche kommen, wenn Du nicht sehr aufpaßt.
Ich rate Dir, immer mit einer Seite anzufangen und diese dann nach und nach bis zum Ergebnis umzuformen, so daß eine schöne Gleichungskette entsteht:
[mm] 1+2+...+k+(k+1)=...=...=...=...=...=...=...=...=...=\bruch{(k+1)*((k+1)+1)}{2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Do 27.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Ok, danke.
Werde sicher noch ein paar Induktionen in diesem Forum lesen/posten.
Mfg
dau2-
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