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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Quantum |
| Aufgabe | | Für welche [mm] n \in \IN_0 [/mm] gilt [mm] 2n + 1 \le 2^n [/mm] ? |
Meine Lösung:
[mm] 2n + 1 \le 2^n [/mm] ist für alle n = 0 und n > 3 erfüllt.
Beweis durch vollständige Induktion:
I. Für n = 4 ist [mm] 9 \le 16 [/mm] wahr.
II. Sei [mm] 2n + 1 \le 2^n [/mm] für beliebiges n wahr.
III. [mm] 2(n + 1) + 1 = 2n + 1 + 2 \le 2^n + 2 \le 2^{n+1} [/mm]
da [mm] x + 2 \le 2x \Rightarrow x \ge 2 [/mm] [mm] \forall x \in \IR [/mm]
Nun habe ich folgendes Problem:
Wenn ich den Induktionsanfang bei n = 0 mache, dann wären Induktionsannahme und Induktionsschritt gleich. Folglich also [mm] 2n + 1 \le 2^n [/mm] für alle n wahr, was einen Widerspruch ergäbe, da dies für
n = 1, 2, 3 nicht der Fall ist.
Habe ich hierbei einen Denkfehler gemacht? Es wäre sehr nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Sa 11.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst die Induktion nicht bei 0 anfangen, denn [mm] 2^0+2\le2^1 [/mm] gilt ja nicht, du selbst schreibst ja mit x>2, dass n>1 sein muss!
Deshalb muss man nenn anderen Anfang als 0 nehmen, was du ja auch richtig gemacht hast.
Gruss leduart
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