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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 25.10.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion folgende Ungleichung für alle n [mm] \ge [/mm] 5
[mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe nur eine Frage zum Induktionsschritt (Anfang ist klar). Ich kenne sogar schon die Lösung dieser Aufgabe, nur kann ich sie nicht nachvollziehen! Auf dem Lösungsblatt steht:
[mm] 2^{n+1}=2*2^{n}>2*n^{2}=n^{2}+n^{2}>\underbrace{x^{2}+3*n}_{???}>n^{2}+2*n+1=(n+1)^{2}
[/mm]
Wie muss man beim Induktionsschritt bei Ungleichungen grundsätzlich vorgehen bzw. woher kommen die weiteren Ungleichungen auf der Rechten seite. Und woher kommt das [mm] x^{2}+3*n [/mm] ?
Für jede Hilfe bin ich dankbar!
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Hallo,
die Schreibweise ist zwar nicht so pralle, aber bis jetzt hats immer funktioniert:
[mm]\underbrace{2n}_{=a_{n}} > \underbrace{n^{2}}_{=s_{n}}[/mm]
IS) [mm]s_{n+1} >^{!} a_{n+1} + s_{n}[/mm]
[mm](n+1)^{2} > 2(n+1) + n^{2}[/mm]
...
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Wie du sagst, sind dir der Induktionsanfang sowie die Induktionsvoraussetzung soweit klar. Der Vollständigkeitshalber führe ich sie aber unten mit auf:
Ind. Anfang
Hier kannst du nun für n=0 beginnen die Startbedingung zu definieren, da in deiner Aufgabenstellung jedoch bereits definiert ist das [mm]2^n > n^2[/mm] nur für alle [mm] n \ge 5 [/mm] gelten soll, reicht es hier bei [mm] n = 5[/mm] zu beginnen:
[mm]n=5 : 2^5 \ge 5^2 \to 32 \ge 25[/mm] Der Induktionsanfang passt also!
Ind. Voraussetzung
[mm]2^n \ge n^2[/mm] ist gültig für n=5, sie sei also auch für n>5 gültig!
Ind. Schritt
Hier gilt es zu beweisen das die Ungleichung auch für den Nachfolger von n gültig ist. Du hast bereits einen Lösungsweg genannt, den ich allerdings für schlecht nachvollziehbar halte. Mein lösungsweg wäre der Folgende. Sollte ich etwas nicht bedacht haben schlagt mich, aber ich denke der ist wasserdicht.
[mm]
2^{n+1} = 2^{1} \cdot 2^{n}
[/mm]
hier können wir nun für [mm] 2^{n} [/mm] die Ind.Voraussetzung einsetzen, also [mm] n^{2}
[/mm]
[mm]
2^{1} \cdot 2^{n} \ge 2 \cdot n^{2} = n^{2} \cdot n^{2}
[/mm]
da es sich um eine Ungleichung handelt musst du nur darauf achten das das ungleichzeichen gewahrt wird, also die linke seite auf alle fälle größer oder gleich der rechten seite bleibt.
deshalb können wir folgenden schritt machen:
[mm]
n^{2} \cdot n^{2} \ge n^{2} + 2n +1 = (n+1)^{2}
[/mm]
und somit ist der induktionsschritt allgemeingültig bewiesen.
Ich hoffe das machts dir verständlicher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Fr 10.11.2006 | | Autor: | feku |
Vielen Dank, Euere Antworten haben mir sehr geholfen!
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