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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 25.10.2006 | | Autor: | freeye |
| Aufgabe | [mm] \summe_{j=2}^{n} [/mm] j(j-1) = ((n-1)*n*(n+1))/3 (n [mm] \ge [/mm] 2)
Beweis durch vollständige Induktion. |
Also entweder ich hab die vollständige Induktion nicht verstanden, oder ich mach etwas falsch.
Ich hab (bei A(n+1)):
[mm] \summe_{j=2}^{n+1} [/mm] j(j-1) = [mm] \summe_{j=2}^{n} [/mm] j(j-1) + (n+1)n = ((n-1)n(n+1))/3 + n(n+1)
ist der ansatz soweit richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo freeye,
dein Ansatz (bis auf die Tatsache, daß du noch keinen Induktionsanfang gemacht hast), ist soweit richtig, du musst nur weiterrechnen:
[mm]\summe_{j=2}^{n+1}j(j-1) = \summe_{j=2}^{n}j(j-1) + (n+1)n = \bruch{(n-1)n(n+1)}{3} + n(n+1) = \bruch{n(n+1)(n+2)}{3}[/mm]
Und damit bist du fertig.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 25.10.2006 | | Autor: | freeye |
danke schön!
ich hab eh schon weitergerechnet gehabt und bin auch auf das ergebnis gekommen.. nur versteh ich leider nicht, warum das damit bewiesen ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mi 25.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja die Sache mit der vollständigen Induktion.
es gehören ZWEI sachen dazu:
1) ein Induktionsanfang
2) der allgemeine schritt von n nach (n+1)
also durch den Induktionsanfang weißt du, dass es auf jeden Fall in einem speziellem Anfang die Bedingung/Formel erfüllt ist.
durch den allgemeinen Schritt (also wenn man davon ausgeht, dass die Formel/Bedingung für n gilt, dass man dann zeigen, dass sie auch für n+1 gilt) weißt du, dass man immer einen Schritt weiter kommt.
Jetzt packst du beides zusammen:
der anfang ist durch 1) gegeben und durch 2) weißt du dass die Formel/Bedingung auch für die nächste Zahl nach dem Anfang gilt.
dann kann man immer wieder 2) anwenden um zu jeder beliebig großen Zahl zu kommen (über dem Anfang)
es ist wie beim Dominosteine umfallen lassen:
durch 2) weißt du, dass wenn ein Stein gefallen ist, dass dann auch sein nachbar fällt und durch 1) weißt du, dass der erste Stein auf jeden fall fällt.
(also fällt auch der zweite und damit dann auch der dritte usw... also werden alle fallen)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 25.10.2006 | | Autor: | freeye |
ok, danke für die erklärung
aber warum weiß ich explizit in dem obigen beispiel jetzt, dass das stimmt oder nicht?
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Hiho,
also pass auf:
Du hast gezeigt, daß wenn es für n gilt, es auch für n+1 gilt.
Wenn du nun noch einen Induktionsanfang zeigst, hast du die Aussage damit für alle n [mm] \in \IN [/mm] bewiesen.
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