Vollständige Induktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Do 14.09.2006 | | Autor: | Binky |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion.
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i/((i+1)!) = 1- (1/((n+1)!)) |
Also dann,
soweit bin ich bisher:
1. [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] i/((i+1)!) = 1-(1/((1+1)!) = 1/2
2. Wenn [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i/((i+1)!) = 1-(1/((n+1)!) so ist [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i/((i+1)!) = 1-(1/((n+1+1)!)
da [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] i/((i+1)!) = 1/2 = 1-(1/((1+1)!) = 1/2 1. ist somit erfüllt.
Bei 2 tue ich mich schwer.
Bisher bin ich bei
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i/((i+1)!) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ...
Wie kann ich also den zweiten Beweis führen? Irgendwie muss ich das doch für [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] darstellen können aber ich bin mir nicht sicher wie ich das umformen kann.
Zudem die Frage: Ist die vollständige Induktion soweit richtig und ist sie nach dem Beweis von 2. abgeschlossen? Ich bin der Meinung ja aber lasse mich gerne eines Besseren belehren.
Gruß
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo.
Hier nocheinmal das Prinzip der vollst. Induktion:
Um den Wahrheitsgehalt einer Folge von Aussagen A1, A1, ... zu beweisen geht man in zwei Schritten vor:
1.) Man zeigt, dass An für ein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gilt. Z.B. n=1. (Das hast du richtig gemacht. Wobei man es wohl eher so aufschreiben würde:
[mm] \summe_{i=1}^{1} {i \over (i+1)!} = {1 \over (1+1)!} = 1/2 = 1 - 1/2 = 1 - {1 \over (1+1)! [/mm] )
2.) Man zeigt, dass A(n+1) wahr ist, angenommen es gibt irgendein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] , sodass An wahr ist.
Wenn man das gemacht hat, ist man fertig, denn da ja nach 1.) A1 wahr ist , ist nach 2.) A(1+1) = A2 wahr und nach 2.) somit auch A(2+1) = A3, usw. .. Also für alle An mit n [mm] \in \mathbb{N} [/mm].
Zur Aufgabe:
Zu 2.) musst du zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} {i \over (i+1)!} = 1 - {1 \over (n+2)!} [/mm] gilt, unter der Annahme, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} {i \over (i+1)!} = 1 - {1 \over (n+1)!} [/mm] gilt. Das ist die Induktionsvorrausetzung (I.V.).
Du fängst also an mit
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} {i \over (i+1)!} [/mm] und versuchst mit der I.V. auf
[mm] 1 - {1 \over (n+2)!} [/mm] zu kommen.
Also [mm] \summe_{i=1}^{n+1} {i \over (i+1)!} = {\color{Red} \summe_{i=1}^{n} {i \over (i+1)!}} + {n+1 \over (n+2)!} [/mm]
jetzt musst du noch für das rote die I.V. anwenden, und dann dürfte es nicht mehr alzu schwer sein. ;)
Gruß,
AlthePal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 14.09.2006 | | Autor: | Binky |
Danke schon mal für die Antwort.
Wollte das auch eigentlich so schreiben. Aber ich lern dazu 
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] {i [mm] \over [/mm] (i+1)!} = [mm] {\color{Red} \summe_{i=1}^{n} {i \over (i+1)!}} [/mm] + {n+1 [mm] \over [/mm] (n+2)!} $
Wie komme ich denn da auf ${n+1 [mm] \over [/mm] (n+2)!}$
Mir macht da glaub ich nicht nur das Verständnis sondern auch die Fakultät zu schaffen. Kannst du mir das mal mit Zischenschritten verdeutlichen. Ich steh ein wenig auf dem Schlauch.
Gruß
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Do 14.09.2006 | | Autor: | ullim |
Also mal ganz genau,
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{i}{(i+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{(i+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{(n+2)!}
[/mm]
der letzte Term entsteht durch berechnen der Summe bis n und anschließendem summieren des (n+1) Terms der Summe. [mm] \Rightarrow [/mm] nach IV
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{(n+2)!}
[/mm]
Erweitern des mittleren Terms mit (n + 2) ergibt
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{n+2}{(n+2)!} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{(n+2)!} [/mm] weil
(n + 1)!*(n + 2) = (n + 2)! gilt [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{n + 2 - n - 1}{(n + 2)!} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n + 2)!}
[/mm]
und das war zu beweisen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Do 14.09.2006 | | Autor: | Binky |
klingeling. da ist grad ein riesen Groschen gefallen.
Danke nochmals.
Jetzt ist alles klar.
Gruß
Alex
|
|
|
|
