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Hallo!
Ich habe IMMER Probleme beim Induktionsschluss. Der Anfang klappt gut ( ist ja auch nicht grad schwer).
Vielleicht habt ihr Lust mir einmal vorzuführen wie es gehen soll? würde mich sehr freuen!
1. 1*3+2*5+....+n*(2n+1) = [mm] \bruch{n*(n+1)(4n+5)}{6}
[/mm]
Mein Versuch war: für n+1:
1*3+2*5+....+n*(2n+1)*(n+1)*(2n+3) = [mm] \bruch{(n+1)*(n+1)*(4n+9)}{6}
[/mm]
Doch damit komme ich nicht weiter.
Auch bei der nächsten klappt es nicht:
[mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!}+.....+ \bruch{1}{n!} [/mm] < 2
Mein Versuch: für n+1
[mm] \bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+.... \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] < 2.
Klappt jedoch auch nicht.
Und bei der 3. funktioniert irgendwie gar nichts.
[mm] n^{7} [/mm] - n ist durch 42 teilbar.
für n = 1 erhalte ich ja:
1-1 ist durch 42 teilbar. Das wäre: 0 ist durch 42 teilbar. Stimmt ja auch.
und für n+1:
[mm] (n+1)^{7} [/mm] - (n+1) ist durch 42 teilbar.
Aber wie solls weitergehen?
Wäre sehr froh wenn ihr mir sagen könntet was ich falsch mache und es mir einmal richtig erklären würdet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mi 17.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
> 1. 1*3+2*5+....+n*(2n+1) = [mm]\bruch{n*(n+1)(4n+5)}{6}[/mm]
>
> Mein Versuch war: für n+1:
>
> 1*3+2*5+....+n*(2n+1)*(n+1)*(2n+3) =
> [mm]\bruch{(n+1)*(n+1)*(4n+9)}{6}[/mm]
Du hast ja gar nichts versucht und vorallenm die Induktionsvors. nicht benutzt! Dann kannst du ja gar nicht weiter kommen!
Ind. Vors:
1*3+2*5+....+n*(2n+1) = [mm]\bruch{n*(n+1)(4n+5)}{6}[/mm]
damit MUSST!du arbeiten, weil das ja schon richtig sein soll!
also AUF BEIDEN SEITEN (n+1)(2n+3) addieren. dann steht links schon das richtige, rechts auf den HN 6 bringen, (n+1) ausklammern, den Rest ausrechnen und auf die erwartete Form bringen!
> Doch damit komme ich nicht weiter.
Ohne die Ind. vors zu benutzen kann man nie weiterkommen!
>
> Auch bei der nächsten klappt es nicht:
Sollt ihr das wirklich durch vollst. Induktion beweisen? das geht eigentlich nicht, wenn es bis n <2 ist kommt ja immer was dazu und das geht nicht mit vollst. Induktion. Hier brauchst du eine echte Abschätzung z. Bsp mit der geometrischen Reihe!
> [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2!}+.....+ \bruch{1}{n!}[/mm] < 2
>
> Mein Versuch: für n+1
>
> [mm]\bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+.... \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] < 2.
>
> Klappt jedoch auch nicht.
>
> Und bei der 3. funktioniert irgendwie gar nichts.
>
>
> [mm]n^{7}[/mm] - n ist durch 42 teilbar.
durch 42 tb heisst durch 2 UND 3 UND 7 tb.
das geht auch ohne Ind am besten, aber mit Induktion und der Ind. Vors
[mm] n^{7}-n [/mm] ist durch 2,3,7 tb
schreibst du [mm] (n+1)^{7}-n-1 [/mm] auf, [mm] (n+1)^{7} [/mm] ausschreiben, [mm] n^{7}-n [/mm] einzeln schreiben , und vom Rest zeigen, dass er auch durch 2,3,7 tb ist. dabei z.Bsp benutzen n gerade, sowieso durch 2 tb, n ug n+1, n-1 durch 2tb
> für n = 1 erhalte ich ja:
>
> 1-1 ist durch 42 teilbar. Das wäre: 0 ist durch 42 teilbar.
> Stimmt ja auch.
>
> und für n+1:
>
> [mm](n+1)^{7}[/mm] - (n+1) ist durch 42 teilbar.
Dein Hauptfehler ist, dass du nie die Indvors. hinschreibst, und versuchst sie zu benutzen! Und ohne das geht wirklich kein einziger Induktionsbeweis
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mi 17.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Leduart u. Spinne!
> > Auch bei der nächsten klappt es nicht:
> Sollt ihr das wirklich durch vollst. Induktion beweisen?
> das geht eigentlich nicht, wenn es bis n <2 ist kommt ja
> immer was dazu und das geht nicht mit vollst. Induktion.
> Hier brauchst du eine echte Abschätzung z. Bsp mit der
> geometrischen Reihe!
> > [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2!}+.....+ \bruch{1}{n!}[/mm] < 2
> >
> > Mein Versuch: für n+1
> >
> > [mm]\bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+.... \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] < 2.
> >
> > Klappt jedoch auch nicht.
Geht das vllt doch mit Induktion, indem man zeigt:
[mm]\bruch{1}{1!}+ \bruch{1}{2!}+.... \bruch{1}{n!}[/mm] [mm] \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Dann werden bei n nach n+1 beide Seiten größer.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo leduart!
Ich komme leider immernoch nicht weiter, aber Danke für deine Mühe :=)
Dass ich die Induktionsvoraussetzung nutzen muss ist mir mittlerweile klar.
Aber du schreibst AUF BEIDEN SEITEN (n+1) (2n+3) addieren. Das verstehe ich z.B nicht. Ich habe doch auf der rechten Seite das n durch n+1 ersetzt und somit den Bruchterm umgeformt?
Und ebenso komme ich am Ende mit dem Umformen nicht weiter.
Wäre schön wenn es mir einer mal vorrechnen könnte :(
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 18.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
Ind. Vors:
[mm] 1*3+....+n*(2n+1)=\bruch{n*(n+1)*(4n+5)}{6} [/mm] ist richtig daraus folgt:
[mm] 1*3+....+n*(2n+1)+(n+1)*(2n+3)=\bruch{n*(n+1)*(4n+5)}{6}+(n+1)*(2n+3) [/mm] ist auch richtig!
jetzt rechte Seite umformen :
[mm] \bruch{n*(n+1)*(4n+5)}{6}+(n+1)*(2n+3)=\bruch{n*(n+1)*(4n+5)+6*(n+1)*2n++3)}{6}=(n+1)*\bruch{n*(4n+5)+6*(2n+3)}{6}=(n+1)*\bruch{4n^{2}+5n+12n+18)}{6}=(n+1)*\bruch{(n+2)*(4n+9)}{6}
[/mm]
Damit ist die Behauptung bewiesen.
(natürlich hab ich mir vorher die rechte Seite der Behauptung aufgeschrieben, damit ich zielgerichtet umformen konnte. Dazu hab ich z.Bsp (n+2)*(4n+9) ausmultipliziert)
Du musst immer dran denken: wenn die Formel richtig ist, muss die für n+1 aus einer Äquivalenzumformung für die von n rauskommen. und bei ner Äquivalenzumformung muss man eben auf beiden Seiten dasselbe tun!
Entsprechend:
Ind. Vors: 1/1!+1/2!+....+1/n! [mm] \le [/mm] 2-1/n für n>2 kann man auch < statt [mm] \le [/mm] schreiben, dann fängt die Induktion bei 3 an und n=1,2 rechnet man aus!
1/1!+1/2!+....+1/n! < 2-1/n ist richtig daraus
1/1!+1/2!+....+1/n!+1/(n+1)! < 2-1/n+1/(n+1)! < 2-1/(n+1)
wegen -(1/n-1/(n+1)!)<-1/(n+1)
Wenn gilt 1/1!+1/2!+....+1/n! < 2-1/n, gilt erst recht :
1/1!+1/2!+....+1/n! < 2
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Do 18.05.2006 | | Autor: | rotespinne |
Hallo leduart! :0)
Vielen Dank, ich glöaube ich habe das Prinzip nun verstanden. Ich bin bisher davon ausgegangen, dass ich bloß für n ( n+1 ) einsetzen muss. Aber ich dachte damit sei ich fertig.
ICh habe die (n+1) (2n+3) nicht auf der rechten Seite addiert weil ich dort für n schon n+1 eingesetzt hatte und meinte damit fertig zu sein.
Werde nun die anderen Aufgaben versuchen!
Danke :0)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Do 18.05.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
ich denke den zweiten Beweis kann man eleganter führen.
Ich versuchs mal:
[mm]3>e = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N \frac{1}{k!} > \sum_{k=0}^N \frac{1}{k!} \ \ \ \ \forall N \in \mathbb{N}[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{N!} < 3 \ \ \ \ \ \ |-1[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{N!} < 2[/mm]
[mm]\Box[/mm]
MfG
metzga
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Do 18.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
"elegant" ist Ansichtssache! denn hier geht ja viel Vors ein:
1. Reihendarstellung von e!
2. e<3
Wenn man das beides beweisen will wird der Beweis ziemlich länglich!
e<3 geht z.Bsp auf diesem Weg!
Ausserdem war eine Induktion gefragt!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 22.05.2006 | | Autor: | PixCell |
Hallo Leduart,
ich habe eure Diskussion um den Induktionsbeweis 1/1!+1/2!+....+1/n! < 2 mit Interesse verfolgt, da ich die gleiche Aufgabe zu bearbeiten habe.
Meine Frage nun: Die Induktionsvoraussetzung heißt ja ursprünglich 1/1!+1/2!+....+1/n!<2. Wie kommst du nun auf 1/1!+1/2!+....+1/n! [mm] \le [/mm] 2-1/n ?
Also konkret auf die -1/n auf der rechten Seite?
Eine Antwort würde mir beim Verstehen sehr weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus für die Mühe.
PixCell
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mo 22.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo PixCell
> Umformung unklar
> Hallo Leduart,
> ich habe eure Diskussion um den Induktionsbeweis
> 1/1!+1/2!+....+1/n! < 2 mit Interesse verfolgt, da ich die
> gleiche Aufgabe zu bearbeiten habe.
>
> Meine Frage nun: Die Induktionsvoraussetzung heißt ja
> ursprünglich 1/1!+1/2!+....+1/n!<2. Wie kommst du nun auf
> 1/1!+1/2!+....+1/n! [mm]\le[/mm] 2-1/n ?
> Also konkret auf die -1/n auf der rechten Seite?
Also 1. nicht die Ind. vors lautet 1/1!+1/2!+....+1/n! < 2 sondern die behauptung lautet so! Wenn ich also 1/1!+1/2!+....+1/n! [mm] \le [/mm] 2 -1/n<2 bewiesen habe, hab ich auch die Behauptung bewiesen!
Dass bei einem Induktionsbeweis immer auf beiden Seiten sich was ändert, bringt mich dazu die Behauptung so umzuformulieren. denn wenn ich nur die ursprüngliche Beh. habe und links um 1/(n+1)! vergrößere, komm ich nicht weiter. Dann such ich wie ichweiterkommen würde, und find es wär schön, wenn ich nicht <2 sondern noch kleiner (und zwar abh. von n) hätte. Und dann seh ich halt, dass meine etwas weitergehende Beh. auch richtig ist, woraus ja die ursprüngliche folgt!
Wenn ich beweisen muss dass A(n)<3 ist, darf ich immer auch beweisen dass A(n)<2 ist oder A(n)<2,9 oder A(n)<2-(irgendwas positives)
Ich hoff das erklärt, was du willst!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 23.05.2006 | | Autor: | PixCell |
Hallo Leduart,
vielen Dank für deine Erklärung - habs jetzt auch kapiert.
Beste Grüße
PixCell
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