Vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Do 20.04.2006 | | Autor: | frau-u |
| Aufgabe | Beweisen sie für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
a) [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{4k^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1- \bruch{1}{2n+1})
[/mm]
b) [mm] \produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1+ \bruch{1}{n}) [/mm] |
Hi,
Habe Probleme mit diesen beiden Aufgaben. Was Induktion ist weiss ich, hab auch schon diverse andere Aufgaben geschafft. Hier bleibe ich aber immer daran hängen, dass irgendwo ein ^2 auftaucht, dass ich nicht mehr "wegbekomme". Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben. Den ersten Induktionsschritt lasse ich bei beiden mal weg.
a) [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{4k^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1- \bruch{1}{2(n+1)+1})
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{4k^2-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{4k^2-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4(n+1)^2-1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{2n+1}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4(n+1)^2-1}
[/mm]
Ab hier werde ich dann unsicher. Wenn ich die binomische Formel anwende, komme ich nicht weiter, wenn ich das [mm] (n+1)^2 [/mm] stehenlasse aber ebenso.
b) [mm] \produkt_{k=2}^{n+1} (1-\bruch{1}{k^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1+ \bruch{1}{n+1})
[/mm]
[mm] \produkt_{k=2}^{n+1} (1-\bruch{1}{k^2}) [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k^2}) [/mm] + [mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^2}) [/mm]
= [mm] \produkt_{k=2}^{n} \bruch{1}{2} (1+\bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^2}) [/mm]
Hier gilt dann wieder das gleiche wie bei b)
Ich habe nur hier gefragt, weil ich hier die freundlichsten und verständlichsten Antworten bekomme.
|
|
| |
|
Hi, frau-u,
> Beweisen sie für alle [mm]n\in \IN[/mm]
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{4k^2-1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}(1- \bruch{1}{2n+1})[/mm]
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{4k^2-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(1- \bruch{1}{2(n+1)+1})[/mm]
Wobei Du auch schreiben kannst: ... = [mm] \bruch{1}{2}(1- \bruch{1}{2n+3})
[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{4k^2-1}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{4k^2-1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4(n+1)^2-1}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2}[/mm] (1- [mm]\bruch{1}{2n+1})[/mm] + [mm]\bruch{1}{4(n+1)^2-1}[/mm]
Tippfehler: Jetzt nicht mehr Summe, sondern nur noch:
[mm] \bruch{1}{2}(1- \bruch{1}{2n+1}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4(n+1)^2-1} [/mm] (***)
>
> Ab hier werde ich dann unsicher. Wenn ich die binomische
> Formel anwende, komme ich nicht weiter, wenn ich das
> [mm](n+1)^2[/mm] stehenlasse aber ebenso.
Die Idee mit der bin.Formel ist schon richtig:
[mm] 4(n+1)^{2} [/mm] - 1 = (2(n+1)+1)(2(n+1)-1) = (2n+3)(2n+1)
(Merkst Du was? Die (2n+3) von oben sind schon mal da!)
Also weiter bei (***):
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(2n+3)(2n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(2n+3)(2n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{(2n+3) - 2}{2*(2n+3)(2n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{(2n+1)}{2*(2n+3)(2n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*(2n+3)}
[/mm]
= (siehe oben!)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Do 20.04.2006 | | Autor: | frau-u |
Wow! Der Groschen ist gefallen!
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo frau-u!
Soll diese Aufgabe unbedingt mit vollständiger Induktion gelöst werden?
Hierbei handelt es sich nämlich um eine sogenannte "Teleskopsumme", die man erhält, wenn man wie folgt umformt / zerlegt:
[mm] $\bruch{1}{4k^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2k-1)*(2k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k+1}\right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Do 20.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo frauu
Auch bei Produkten gibts sowas wie Teleskopkürzen : [mm] $1-\bruch{1}{k^2}=\bruch{k^2-1}{k^2}=\bruch{(k-1)*(k+1)}{k^2}$
[/mm]
Und jetzt gehts ans kürzen!
In deinem posting hast du + mit * verwechselt
Gruss leduart
|
|
|
|
