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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Do 23.03.2006 | | Autor: | thales |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_{0} [/mm] = 0, [mm] a_{1} [/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}+a_{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1. Man zeige: [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i}=a_{k+2} [/mm] - 1 |
Komme leider nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Do 23.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo thales!
> Sei [mm]a_{0}[/mm] = 0, [mm]a_{1}[/mm] = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}+a_{n-1}[/mm] für n
> [mm]\ge[/mm] 1. Man zeige: [mm]\summe_{i=1}^{k} a_{i}=a_{k+2}[/mm] - 1
> Komme leider nicht weiter.
Schreib doch bitte, was du bisher versucht hast und wo du steckengeblieben bist.
LG Felix
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Sei $ [mm] a_{0} [/mm] $ = 0, $ [mm] a_{1} [/mm] $ = 1 und $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] a_{n}+a_{n-1} [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 1. Man zeige: $ [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i}=a_{k+2} [/mm] $ - 1
Es ist doch
Induktionsanker: Nachweis, dass $ [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i}=a_{k+2} [/mm] $ - 1
für k = 1 gilt :
$ [mm] \summe_{i=1}^{1} a_{i}=a_{1+2} [/mm] $ - 1 = [mm] a_{3} [/mm] - 1 = [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] - 1 = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] - 1 = 1 + 0 + 1 - 1 = 1 = [mm] a_{1} [/mm] ==> korrekt.
Induktionsschritt: Nachweis, dass $ [mm] \summe_{i=1}^{k+1} a_{i}=a_{k+1+2} [/mm] $ - 1 gilt, wenn vorausgesetzt wird, dass $ [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i}=a_{k+2} [/mm] $ - 1 bereits gilt :
[mm] \summe_{i=1}^{k+1} a_{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i} [/mm] + [mm] a_{k+1} [/mm] Summendefinition
= [mm] a_{k+2} [/mm] - 1 + [mm] a_{k+1} [/mm] Benutzung der Voraussetzung des Induktionsschritts!
= [mm] a_{k+3} [/mm] - 1 Anwendung Definition der Folgenglieder
= [mm] a_{k+1+2} [/mm] - 1 q.e.d. ==> korrekt
Du hast jetzt Induktionsanker und Induktionsschritt korrekt hergelitten (bewiesen). Damit ist der Induktionsbeweis fertig 
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