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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Di 27.10.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}(\bruch{1}{4k^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] |
Ich komme an einem Punkt nicht mehr weiter:
Für n=1 kommt bei beiden 1/3 raus, sodass der Anfang schon mal stimmt.
Dann im Induktionnschritt n-> n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4* (n+1)^{2} -1}
[/mm]
Dann setzt man ja für die Summe von k=1 bis n die Formel ein und addiert mit dem Ausdruck mit der binomischen Formel im Nenner von gerade:
= [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4*(n+1)^{2}-1}
[/mm]
Dann hab ich die binomische Formel aufgelöst und beide Brüche auf einen Nenner gebracht:
[mm] \bruch{n*(4n^{2}+8n+3)}{(2n+1)(4n^{2}+8n+3} [/mm] + [mm] \bruch{1*(2n+1)}{(4n^{2}+8n+3)(2n+1)}
[/mm]
Nach weiterem Auflösen und Ausmultiplizieren der Klammern ergibt sich dann in einem Bruch nun:
[mm] \bruch{4n^{3}+8n^{2}+3n+2n+1}{8n^{3}+16n^{2}+6n+4n^{2}+8n+3}
[/mm]
Man sieht schon, dass das was mit dem Ausdruck der Formel
[mm] \bruch{n+1}{2*(n+1)+1} [/mm] zu tun haben muss, aber das Problem ist, dass sich aus dem Nenner einfach nicht der Zähler nach der Formel rechts vom Summenzeichen in der Aufgabenstellung ergibt...
Kann mir bitte bitte jemand helfen und meine Rechnung korrigieren?
Liebe Grüße und ein großes Danke vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Di 27.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(\bruch{1}{4k^{2}-1}[/mm] = [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm]
> Ich komme an einem Punkt nicht mehr weiter:
>
> Für n=1 kommt bei beiden 1/3 raus, sodass der Anfang schon
> mal stimmt.
>
> Dann im Induktionnschritt n-> n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4* (n+1)^{2} -1}[/mm]
>
> Dann setzt man ja für die Summe von k=1 bis n die Formel
> ein und addiert mit dem Ausdruck mit der binomischen Formel
> im Nenner von gerade:
>
> = [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4*(n+1)^{2}-1}[/mm]
>
> Dann hab ich die binomische Formel aufgelöst und beide
> Brüche auf einen Nenner gebracht:
Das wird tödlich !
>
> [mm]\bruch{n*(4n^{2}+8n+3)}{(2n+1)(4n^{2}+8n+3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1*(2n+1)}{(4n^{2}+8n+3)(2n+1)}[/mm]
>
> Nach weiterem Auflösen und Ausmultiplizieren der Klammern
> ergibt sich dann in einem Bruch nun:
>
> [mm]\bruch{4n^{3}+8n^{2}+3n+2n+1}{8n^{3}+16n^{2}+6n+4n^{2}+8n+3}[/mm]
>
> Man sieht schon, dass das was mit dem Ausdruck der Formel
>
> [mm]\bruch{n+1}{2*(n+1)+1}[/mm] zu tun haben muss, aber das Problem
> ist, dass sich aus dem Nenner einfach nicht der Zähler
> nach der Formel rechts vom Summenzeichen in der
> Aufgabenstellung ergibt...
Da sieht man wirklich nix !
>
> Kann mir bitte bitte jemand helfen und meine Rechnung
> korrigieren?
>
> Liebe Grüße und ein großes Danke vorab!
>
>
Schreibe [mm] 4(n+1)^2-1 [/mm] als
[mm] 4(n+1)^2-1=(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)=(2n+1)(2(n+1)+1)
[/mm]
Aus
$ [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{4\cdot{}(n+1)^{2}-1} [/mm] $
wird dann
[mm] \bruch{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2(n+1)+1)}
[/mm]
Den letzten Bruch schreiben wir so:
[mm] \bruch{n(2n+1)+(2n+1)}{(2n+1)(2(n+1)+1)}
[/mm]
Jetzt kürze 2n+1 raus.
Merke: zuviel ausmultiplizieren kann tödlich enden.
FRED
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Hallo Tabs!
Ist Dir der Weg via vollständige Induktion vorgegeben?
Anderenfalls ist das hier auch ein klassisches Beispiel für eine Teleskopsumme, wenn man eine kleine Partialbruchzerlegung durchführt.
Gruß vom
Roadrunner
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