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| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion:
[mm] \br{1}{1*3}+\br{1}{3*5}+\br{1}{5*7}+...+\br{1}{(2n-1)(2n+1)}=\br{n}{2n+1} [/mm] |
Ich komm schon wieder bei einer Aufgabe nicht weiter. Habe die ganze zeit gerechnet, weil ich euch nicht nerven wollte. Ich komm aber einfach nicht weiter.
Mein Ansatz:
Induktionsanfang:
für n=1 ist die Aussage wahr, denn [mm] \br{1}{(2-1)(2+1)}=\br{1}{2+1}
[/mm]
Induktionsschluss:
Wenn [mm] \br{1}{1*3}+\br{1}{3*5}+\br{1}{5*7}+...+\br{1}{(2k-1)(2k+1)}=\br{k}{2k+1}, [/mm] dann
[mm] \br{1}{1*3}+\br{1}{3*5}+\br{1}{5*7}+...+\br{1}{(2k+1-1)(2k+1+1)}=\br{k+1}{2k+1+1} [/mm]
Hierbei wusste ich nicht genau, ob man k+1 einklammern muss.
Es [mm] sei:\br{1}{1*3}+\br{1}{3*5}+\br{1}{5*7}+...+\br{1}{(2k-1)(2k+1)}=\br{k}{2k+1} [/mm] (Induktionsannahme)
[mm] \br{1}{1*3}+\br{1}{3*5}+\br{1}{5*7}+...+\br{1}{(2k-1)(2k+1)}+\br{1}{(2k+1-1)(2k+1+1)}=\br{k}{2k+1}+\br{1}{(2k+1-1)(2k+1+1)}
[/mm]
Ist das bis hier richtig und wie soll ich das weiter umformen, damit das gewünschte Ergebnis herauskommt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mo 15.01.2007 | | Autor: | smarty |
Hallo,
und ja, du hättest das k+1 einklammern müssen - das gibt nämlich dann mit 2*(k+1)=2k+2
Gruß
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Schluse |
Warum machst du es dir denn so umständlich???
Und wieso bleibst du nicht bei n und nimmst dafür k??
Naja...als erstes würde ich dir raten, dass du dir im Induktionsanfang erstmal für dein sn n+1 einsetzt, damit du weißt, was du im Induktionsschluss zu zeigen hasst...
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so hab die Korrektur von Smarty in meine Rechnung eingebracht.
Habe jetzt die (k+1) ausgeklammert. Dann hab ich ein bißchen weitergerechnet(erweitert) und hab dann da stehn:
[mm] \br{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}
[/mm]
Nur wie komm ich jetzt weiter?
Danke
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Hallo Harrypotter!
> so hab die Korrektur von Smarty in meine Rechnung
> eingebracht.
> Habe jetzt die (k+1) ausgeklammert. Dann hab ich ein
> bißchen weitergerechnet(erweitert) und hab dann da stehn:
> [mm]\br{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}[/mm]
> Nur wie komm ich jetzt weiter?
> Danke
Also das Prinzip der Induktion scheinst du verstanden zu haben, der Rest ist nur noch Bruchrechnen und Übung! Zu zeigen musst du ja jetzt nur noch, dass dein Ausdruck [mm] =\br{k+1}{2k+3} [/mm] ist. Wenn du dir deinen Ausdruck anguckst, siehst du, dass das im Nenner nur hinkommt, wenn du (2k+1) ausklammerst. Multipliziere dafür den Zähler mal aus, und dann klammere (2k+1) aus (z. B. mit Polynomdivision oder scharfem Hingucken). 
Und für die nächste Aufgabe könntest du vllt eine neue Frage aufmachen.
Viele Grüße
Bastiane
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