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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Elphaba |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beweisen Sie die folgende Aussagen mit vollständiger Induktion:
a) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3i-2)= [mm] \bruch{n*(3n-1)}{2}
[/mm]
b) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: n²+n ist gerade (dh. durch 2 teilbar)
c)) Für alle n >(gleich) 2 gilt: [mm] 2^n [/mm] > n+1 |
Ich stehe vermutlich total auf dem Schlauch.
Bei der a) hab ich folgendes:
a) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3i-2)= [mm] \bruch{ n* (3n-1) }{2}
[/mm]
IA
für n = 1 ist
[mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] (3*1-2)= [mm] \bruch{1*(3*1-1)}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1=1
Also ist A(1) richtig!
IS
Für ein beliebiges aber festes n [mm] \in \IN [/mm] gilt die Induktionsvorraussetzung [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3i-2)= [mm] \bruch{n*(3n-1)}{2}
[/mm]
Also erhalten wir:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] (3i-2)= [mm] \bruch{(n+1)*(3(n+1)-1)}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(n+1)*(3n+2)}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3n^2+5n+2}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] (3i-2) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3i-2) +(3(n+1)-2)
[mm] \gdw [/mm] 3 [mm] \bruch{n^2+n}{2} [/mm] - 3+ 3n
[mm] \gdw \bruch{3n^2+9n+6}{2}
[/mm]
und jetzt hab ich entweder nen Fehler gemacht oder dieses Dingen lässt sich nicht mit Induktion beweisen sondern nur widerlegen ^__^
a) hab ich also "hinbekommen", wenn das so stimmt, allerdings müsst ich ja bei b) und c) erstmal ne Summenformel schreiben und die weiß ich nicht -.-" Bzw. geht das noch anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mi 12.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei a)
Du musst zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}(3i-2)=\bruch{n(3(n+1)-1)}{2}
[/mm]
Also:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}(3i-2)
[/mm]
[mm] =\red{\summe_{i=1}^{n}(3i-2)}+[3(n+1)-2]
[/mm]
[mm] =\red{\bruch{n(3(n+1)-1)}{2}}+\bruch{6(n+1)-4}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(3(n+1)-1)+6(n+1)-4}{2}
[/mm]
[mm] =\vdots
[/mm]
[mm] =\bruch{3n²+2n}{2} [/mm] (Siehe unten)
[mm] =\bruch{n(3(n+1)-1}{2}
[/mm]
Wenn du
[mm] \bruch{n(3(n+1)-1}{2} [/mm] ausmultiplizierst, erhältst du.
[mm] \bruch{n(3(n+1)-1)}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{3n(n+1)-n}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{3n²+3n-n}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{3n²+2n}{2}
[/mm]
zu b)
Induktionsschritt ist hier: (n+1)²+(n+1) ist gerade, hier brauchst du keine Summe
(Unter der Voraussetzung, dass n²+n gerade ist).
zu c)
[mm] 2^{n+1}\ge((n+1)+1) [/mm] (Voraussetzung: [mm] 2^{n}\ge(n+1)
[/mm]
Am sinnvollsten ist eine (Un)Gleichungskette
$$ [mm] 2^{n+1} [/mm] $$
$$ [mm] =2^{n}*2^{1} [/mm] $$
$$ [mm] \ge(n+1)*2 [/mm] $$
$$ =2n+2 $$
$$ [mm] \ge [/mm] n+2 $$
$$ =(n+1)+1 $$
Marius
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