matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Analysis-Induktion > Vollständig Induktion Ungleich
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständig Induktion Ungleich
Vollständig Induktion Ungleich < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständig Induktion Ungleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:03 Do 08.11.2007
Autor: muy

Aufgabe
Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 3 gilt
n² > 2n + 1.

Auf die Gefahr hin, dass ich mich hier damit blamiere, mein Lösungsansatz...

I Der Anfang: n=3
3² > 2*3 + 1 = 9 > 7

Zu zeigen: gilt für n+1.

(n+1)² > 2(n+1)+1

Ab hier war es mehr Verzweiflung als Überlegung.

n²+2n+1 > 2n+2+1  | -2n | -1 ...

n² > 2

Ja...irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich das Prinzip der vollständigen Induktion bei Ungleichungen nicht ganz verstanden hab.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Vollständig Induktion Ungleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Do 08.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Paul,


> Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass für alle n
> [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 3 gilt
>  n² > 2n + 1.

>  Auf die Gefahr hin, dass ich mich hier damit blamiere,
> mein Lösungsansatz...
>  
> I Der Anfang: n=3
>  3² > 2*3 + 1 = 9 > 7 [ok]

Hier schiebe mal die Induktionsvoraussetzung ein:

Sei [mm] $n\in\IN, [/mm] n>3$ und gelte [mm] $n^2>2n+1$ [/mm]

> Zu zeigen: gilt für n+1.
>  
> (n+1)² > 2(n+1)+1 [ok]
>  
> Ab hier war es mehr Verzweiflung als Überlegung.
>  
> n²+2n+1 > 2n+2+1  | -2n | -1 ...
>  
> n² > 2
>  
> Ja...irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich das Prinzip der
> vollständigen Induktion bei Ungleichungen nicht ganz
> verstanden hab.

Nimm dir die linke Seite der zu zeigenden Abschätzung her und bastel mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung die rechte Seite hin.

Also wir wollen zeigen, dass unter der Ind.vor auch gilt: [mm] $(n+1)^2>2(n+1)+1$ [/mm]

Es ist [mm] $(n+1)^2=\red{n^2}+2n+1>\red{(2n+1)}+2n+1$ [/mm] nach Induktonsvoraussetzung gilt diese Abschätzung für die roten Terme

[mm] $=(2n+2)+\blue{2n}$ [/mm]  Nun ist [mm] $n\ge [/mm] 3$ also ist $2n$ sicher $>1$

Also [mm] $=(2n+2)+\blue{2n}>(2n+2)+\blue{1}=2n+3=2(n+1)+1$ [/mm]

Und genau das wollten wir haben...


Hoffe, das war nicht zu sehr klein-klein ;-)


Lieben Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Vollständig Induktion Ungleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Mo 12.11.2007
Autor: muy

Hat ein wenig gedauert bis ich durchgestiegen bin aber war eine super Lösung, danke. ;)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]