Vollst. Induktion Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 26.10.2008 | | Autor: | n33dhelp |
| Aufgabe | Zeige durch vollständige Induktion, dass folgende Aussage gilt:
[mm] 2^n [/mm] < n! < [mm] n^n [/mm] für n >= 4 |
Bin soweit, dass die Induktionsannahme stimmt.
Bei der Übertragung von n auf n+1 häng ich jedoch leider hier fest:
[mm] 2*2^n [/mm] < (n+1)*n! < (n+1)^(n+1)
ich hoffe, dass ihr mir hier weiterhelfen könnt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 26.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Teile das ganze doch auf in zwei Ungleichungen:
a)
[mm] 2^{n}
und b)
[mm] n!
Und beide Ungleichungen beweise nun per Induktion.
Also a)
Ind-Schritt:
[mm] 2^{n+1}\stackrel{Potenzgesetz}{=}2^{n}*2^{1}\stackrel{Ind-Vorauss}{<}n!*2\stackrel{2
Den Ind-Anfang und die Ind-Voraussetzung formuliere bitte noch selber.
An b) versuch dich jetzt mal selber.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 30.10.2008 | | Autor: | n33dhelp |
Hallo,
danke für deine rasche Antwort.
Hab dies mal wie folgt gemacht:
n! < [mm] n^n [/mm] (Ind. Vor.)
n!*(n+1) < [mm] n^n [/mm] * (n+1) (Äquivalenzumformung, n>=4)
[mm] n^{n} [/mm] < [mm] (n+1)^{n} [/mm] (für n>=4)
=> (n+1)! < [mm] (n+1)^{n+1}
[/mm]
Hoff mal, dass das so stimmt bzw. man den Beweis so "durchführen darf"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für deine rasche Antwort.
> Hab dies mal wie folgt gemacht:
>
> n! < [mm]n^n[/mm] (Ind. Vor.)
> n!*(n+1) < [mm]n^n[/mm] * (n+1) (Äquivalenzumformung, n>=4)
> [mm]n^{n}[/mm] < [mm](n+1)^{n}[/mm] (für n>=4)
> => (n+1)! < [mm](n+1)^{n+1}[/mm]
>
> Hoff mal, dass das so stimmt bzw. man den Beweis so
> "durchführen darf"
bitte, bitte, wer an Worten spart, darf dies dann nicht zudem an Symbolen tun. Schreiben wir das nochmal auf:
Es wird behauptet:
Für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 4$ gilt $n! < [mm] n^n\,.$ [/mm] Bei dieser Aussage kannst Du natürlich sagen, ich mache einen Induktionsbeweis mit $n [mm] \ge [/mm] 4$, aber:
Man kann sich auch überlegen, dass $n! < [mm] n^n$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt. Und wir beweisen nun einfach mal diese, etwas stärkere, Aussage. Sie impliziert dann natürlich insbesondere $n! < [mm] n^n$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 4$.
Beweis dazu:
Induktionsstart für $n=2$: $n!=2 < [mm] 4=2^2$ [/mm] ist okay.
I.V.: Es sei $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 2$ mit $n! < [mm] n^n\,.$
[/mm]
Und jetzt schreibe ich mal Deinen Induktionsschritt auf:
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$:
Nach Induktionsvoraussetzung gilt $n! < [mm] n^n\,.$ [/mm] Dies ist (da $n [mm] \ge [/mm] 2$ und damit insbesondere [mm] $\black{n}+1 [/mm] > 0$ ist) äquivalent zu
$$n! (n+1) < [mm] n^n*(n+1)\,,$$ [/mm]
insbesondere gilt also wegen [mm] $(n+1)!=(n+1)*\black{n}!$:
[/mm]
$$n! < [mm] n^n$$ [/mm]
[mm] $$\Rightarrow$$ [/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\; [/mm] (n+1)! < [mm] n^n*(n+1)\,.$$
[/mm]
Weiter gilt nun $0 < [mm] \black{n} [/mm] < n+1$, was [mm] $n^n [/mm] < [mm] (n+1)^n$ [/mm] impliziert.
Es gilt also [mm] $(\star)$ [/mm] und [mm] $n^n [/mm] < [mm] (n+1)^n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Zusammen liefert dies
$$(n+1)! < [mm] (n+1)*n^n [/mm] < [mm] (n+1)*(n+1)^n$$
[/mm]
und damit wegen [mm] $(n+1)*(n+1)^n=(n+1)^{n+1}$ [/mm] insbesondere
$$(n+1)! < [mm] (n+1)^{n+1}\,.$$
[/mm]
Also gilt $n! < [mm] n^n$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$. [mm] $\blacksquare$
[/mm]
Ich hoffe, Du erkennst den Unterschied. Ich meine, alle Deine Überlegungen sind richtig, aber wenn Du schreibst:
> n! < [mm]n^n[/mm] (Ind. Vor.)
> n!*(n+1) < [mm]n^n[/mm] * (n+1) (Äquivalenzumformung, n>=4)
> [mm]n^{n}[/mm] < [mm](n+1)^{n}[/mm] (für n>=4)
> => (n+1)! < [mm](n+1)^{n+1}[/mm]
habe ich echt Schwierigkeiten damit, wie das zu lesen ist. (Okay, mir ist das klar, weil ich den Beweis selbst ja auch führen kann, aber es muss ja für jeden verständlich notiert werden.)
Also nur die drei Zeilen hier:
> n! < [mm]n^n[/mm] (Ind. Vor.)
> n!*(n+1) < [mm]n^n[/mm] * (n+1) (Äquivalenzumformung, n>=4)
> [mm]n^{n}[/mm] < [mm](n+1)^{n}[/mm] (für n>=4)
könnte man ja auch lesen als:
Die Ungleichung $n! < [mm] n^n$ [/mm] ist äquivalent zu $n!(n+1) < [mm] n^n$ [/mm] (das wäre bis hierhin okay) und liefert auch [mm] $n^n [/mm] < [mm] (n+1)^n\,.$
[/mm]
So meinst Du das aber nicht. Du meinst:
Es gilt $n! < [mm] n^n \underset{\text{da }n \ge 4}{\gdw} [/mm] n!(n+1) < [mm] n^n*(n+1)\,.$ [/mm] Weiter gilt [mm] $n^n [/mm] < [mm] (n+1)^n\,.$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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