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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n [mm] \in \mathbb [/mm] N gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n \\ j}} [/mm] = [mm] 2^{n-1}(n+2)-1
[/mm]
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Hallo schon wieder!
:)
Dass ich auch kaum eine Aufgabe hier ganz alleine gelöst bekomme.
Also I.A. habe ich für n=1 bewiesen. Beim Induktionsschritt klappts wieder nicht ganz.
Also:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}{(j+1) \cdot \vektor{n+1 \\ j}} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n+1 \\ j}}+n+2 [/mm] =
[mm] [\summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n \\ j}}] \cdot \frac{n+1}{n+1-j}+n+2
[/mm]
Stimmt das bis hierin?
Kriege das dann aber nicht vernünftig umgeformt. Schließlich bleibt dieses blöde j ja auch drin :(
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Hallo
> [mm]\summe_{j=1}^{n+1}{(j+1) \cdot \vektor{n+1 \\ j}}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n+1 \\ j}}+n+2[/mm] =
> [mm][\summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n \\ j}}] \cdot \frac{n+1}{n+1-j}+n+2[/mm]
>
> Stimmt das bis hierin?
> Kriege das dann aber nicht vernünftig umgeformt.
> Schließlich bleibt dieses blöde j ja auch drin :(
richtig ist das schon, aber gut sieht´s nicht aus.
Versuchs doch mal mit
[mm] \vektor{n+1 \\ j}=\vektor{n \\ j}+\vektor{n \\ j-1}
[/mm]
(ohne Erfolgsgarantie, hab´s nicht durchgerechnet)
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
Hmm..ich sehe da irgendwie auch keine Möglichkeit.
Na Anwendung der Induktionsvoraussetzung erhalte ich:
[mm] 2^{n-1}(n+2)-1 [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n+1}{(j+1)\vektor{n \\ j-1}}
[/mm]
Tjoar wie ich jetzt die Summe vernünftig wegkriegen soll, weiß ich nicht :(
Andere Idee/wie gehts hier weiter?
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> Hmm..ich sehe da irgendwie auch keine Möglichkeit.
> Na Anwendung der Induktionsvoraussetzung erhalte ich:
> [mm]2^{n-1}(n+2)-1[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{n+1}{(j+1)\vektor{n \\ j-1}}[/mm]
Hallo,
Du hattest
> $ [mm] \summe_{j=1}^{n+1}{(j+1) \cdot \vektor{n+1 \\ j}} [/mm] $ =
> $ [mm] \summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n+1 \\ j}}+n+2 [/mm] $ = ...
Mit korbinians Tip (Additionstheorem):
...= [mm] \summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot (\vektor{n \\ j}+\vektor{n \\ j-1})}+(n+2)
[/mm]
(Induktionsvoraussetzung)
[mm] =2^{n-1}(n+2)-1 +\summe_{j=1}^{n}(j+1)\vektor{n \\ j-1}+(n+2)=...
[/mm]
Wie ich es sehe, hattest Du das (n+2)vergessen.
Nun kommt ein kl. Trick, eine Indexverschiebung bei der Summe:
[mm] ...=2^{n-1}(n+2)-1 +\summe_{j=0}^{n-1}(j+1+1)\vektor{n \\ j}+(n+2)
[/mm]
[mm] =2^{n-1}(n+2)-1+\summe_{j=0}^{n}((j+1)+1)\vektor{n \\ j}- (n+1+1)\vektor{n \\ n}+(n+2)
[/mm]
=...
Jetzt solltest Du weiterkommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
hi, danke Angela!
..= [mm] \summe_{j=0}^{n}{(j+1+1)\vektor{n \\ j}}+2^{n-1}(n+2)-1
[/mm]
Das konnte ich bis dahin alles gut nachvollziehen.
Ich habs nun auch rausbekommen, doch ist es so trivial, dass
[mm] \summe_{j=0}^{n}{\vektor{n \\ j} } [/mm] = [mm] 2^n [/mm] ??
Oder gehts doch auch noch schon wieder anders?
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> hi, danke Angela!
>
> ..= [mm]\summe_{j=0}^{n}{(j+1+1)\vektor{n \\ j}}+2^{n-1}(n+2)-1[/mm]
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> Das konnte ich bis dahin alles gut nachvollziehen.
> Ich habs nun auch rausbekommen, doch ist es so trivial,
> dass
> [mm]\summe_{j=0}^{n}{\vektor{n \\ j} }[/mm] = [mm]2^n[/mm] ??
>
> Oder gehts doch auch noch schon wieder anders?
Nein, trivial ist das nicht.
Es gehört jedoch zu den Dingen, die im Zusammenhang mit dem Binomischen Satz gern bewiesen werden.
Schau mal nach, ob Ihr das womöglich hattet.
Ansonsten kannst Du's sehr leicht zeigen: [mm] 2^n=(1+1)^n [/mm] und nun den binomischen Satz.
Gruß v. Angela
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