Vollst. Ind. zu Taylorreihe < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige ... durch schrittweises Vorgehen bzw. vollständige Induktion:
Satz 5
Ist die Funktion f an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] (n+1)-mal differenzierbar und die Ableitung [mm] f^{n+1} [/mm] in einer Umgebung von 0 stetig, so gilt in einer Umgebung von 0
[mm] $f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}*x++\frac{f''(0)}{2!}*x^2+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}*x^n+R_n(x)$
[/mm]
mit [mm] $R_n(x)=\frac{1}{n!}*\int^{x}_{0}(x-t)^n*f^{(n+1)}(t)\quad [/mm] dt$ |
Hallo,
durch schrittweises Vorgehen habe ich mir die Restgliedformel plausibel machen können.
Bei der vollständigen Induktion bin ich aber unsicher:
I.A.: n = 1
[mm] $R_1(x)^=\frac{1}{1!}*\int^{x}_{0}(x-t)^1*f''(t) \quad [/mm] dt =$
[mm] $=\left[\;(x-t)*f'(t)\; \right]^x_0+\int^x_0f'(t) \quad [/mm] dt$
[mm] $=-\frac{f'(0)}{1!}*x^1+\left[\; f(t) \;\right]^x_0$
[/mm]
[mm] $=f(x)-\frac{f'(0)}{1!}*x^1-f(0)$
[/mm]
[mm] $R_1(x)=f(x)-T_1(x)$
[/mm]
I.V. Es gelte für ein beliebiges n:
[mm] $R_n(x)=\frac{1}{n!}*\int^{x}_{0}(x-t)^n*f^{(n+1)}(t)\; [/mm] dt [mm] \quad [/mm] = [mm] \quad f(x)-T_n(x)$
[/mm]
I.S. [mm] $R_{n+1}(x)=\frac{1}{(n+1)!}*\int^{x}_{0}(x-t)^{n+1}*f^{(n+2)}(t)\; [/mm] dt$
[mm] $=\frac{1}{(n+1)!}*\left[\;(x-t)^{n+1}*f^{(n+1)}(t)\; \right]^x_0+\frac{n+1}{(n+1)!}*\int^x_0 (x-t)^n*f^{(n+1)}(t) \quad [/mm] dt$
[mm] $=\frac{-f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}*x^{n+1}+\frac{1}{n!}*\int^{x}_{0}(x-t)^n*f^{(n+1)}(t)\; [/mm] dt$
[mm] $=-T_{n+1}(x)+f(x)$ [/mm] nach I.V.
Besten Dank für's Drüberschauen!
LG, Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 09.01.2011 | | Autor: | tobbi |
Moin Martinius,
ich sehe keinen Fehler und da es ja auch "aufgeht", würde ich mal behaupten, dass deine Induktion richtig.
Das Schöne an dieser Art der Aufgabe ist ja auch immer die Möglichkeit der Selbstkontrolle: Wenn der Beweis aufgeht und man sich nicht irgendwo selbst bemogelt hat (oder durch Zufall zwei Fehler sich aufheben, was aber doch sehr selten seien sollte), ist alles bestens.
Beste Grüße
Tobbi
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