Vollst.Induktion; Kreisflächen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 So 03.05.2009 | | Autor: | kalysa |
| Aufgabe | Die Aufgabe lautet:
Es sei A(n) die max. Anzahl von Flächen nnerhalb eines Kreises, die Sie erhalten können, wenn Sie auf dem Kreisrand n Punkte auswählen und alle Punkte paarweise durch Geraden verbinden. Die Anzahl der entstandenen Flächen ist maximal, wenn sich keine drei Geraden in einem Punkt schneiden.
Es sei A(1)=1, A(n+1)= A(n) + SUMME (von k=1 bis n) (1+(k-1)(n-k)), n größer/gleich 1.
Zeigen Sie: A(n) = n + [mm] \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} n-1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich weiß, dass ich hierfür vollständige Induktion verwenden muss. Außerdem muss letzten Endes gelten: n + [mm] \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} n-1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
= A(n-1) + SUMME (von k=1 bis n-1) (1+(k-1)((n-1)-k)).
Ich habe schon alles mögliche versucht, ich komme einfach nicht durch. Was übersehe ich Entscheidendes? Oder wie fange ich an? Ich habe mittlerweile es mit allen Seiten probiert, bleibe aber immer stecken. Mich irritiert, dass ich doch eigentlich nicht weiß, wie genau A(n-1) aussieht? Klar könnte ich in n + [mm] \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} n-1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] statt n immer n-1 einsetzen, aber dann würde ich ja schon das A(n) anwenden, und ich soll es ja erst beweisen. Kann mir jemand helfen und sagen, was ich falsch mache? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391520
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Hallo kalysa,
> Die Aufgabe lautet:
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> Es sei A(n) die max. Anzahl von Flächen nnerhalb eines
> Kreises, die Sie erhalten können, wenn Sie auf dem
> Kreisrand n Punkte auswählen und alle Punkte paarweise
> durch Geraden verbinden. Die Anzahl der entstandenen
> Flächen ist maximal, wenn sich keine drei Geraden in einem
> Punkt schneiden.
>
> Es sei A(1)=1, A(n+1)= A(n) + SUMME (von k=1 bis n)
> (1+(k-1)(n-k)), n größer/gleich 1.
>
> Zeigen Sie: A(n) = n + [mm]\begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix} n-1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
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> Ich weiß, dass ich hierfür vollständige Induktion verwenden
> muss. Außerdem muss letzten Endes gelten: n +
> [mm]\begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} n-1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
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> = A(n-1) + SUMME (von k=1 bis n-1) (1+(k-1)((n-1)-k)).
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> Ich habe schon alles mögliche versucht, ich komme einfach
> nicht durch. Was übersehe ich Entscheidendes? Oder wie
> fange ich an? Ich habe mittlerweile es mit allen Seiten
> probiert, bleibe aber immer stecken. Mich irritiert, dass
> ich doch eigentlich nicht weiß, wie genau A(n-1) aussieht?
Aber beim Induktionsschritt n -> n+1 kannst Du ja die Rekursionsvorschrift anwenden unter der Voraussetzung, daß die Formel [mm]A(n)=n +{n \choose 4} +{n \choose 2} [/mm] für n richtig ist. Dann wäre zu zeigen:
[mm] n+{n \choose 4} +{n -1 \choose 2} +\sum_{k=1}^n (1+(k-1)(n-k)) =n+1 +{n+1 \choose 4} +{n \choose 2}[/mm].
Tip: Man kann [mm] {n \choose k} [/mm] auch rekursiv berechnen (Stichwort:
Pascalsches Dreieck). Schau Dir auch mal den Ausdruck [mm] 3*{n+1 \choose 3} [/mm] an und beachte dabei die Formel für [mm] \sum_{k=1}^n k [/mm].
Hoffe das hilft
Thomas
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