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Vielfachheit v Nullst. u VZW: Frage zu Beweis eines Satzes
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:04 Mi 11.05.2011
Autor: tb1804

Aufgabe
Es handelt sich nicht um eine Aufgabe, sondern um einen Satz, den ich gerne beweisen würde bzw. den ich gern begründen würde.

Satz:
Ist die Vielfachheit einer Nullstelle (einer stetigen, diffbaren Funktion) gerade, so liegt dort ein VZW vor.

Ist die Vielfachheit ungerade, so liegt doch kein VZW vor.

Ich frage mich, wie ich den Satz beweisen kann.

Eine Idee hätte ich:
da f stetig ist, existiert eine Stammfunktion F mit F'=f. Wenn man jetzt zeigt, dass F bei der Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] von f ein Extremum hat, ist man fertig.

Also muss gezeigt werden, dass [mm] x_{0} [/mm] eine Nullstelle von F' ist (was nach Voraussetzung gilt) und, dass die erste Ableitung, die nicht bei [mm] x_{0} [/mm] verschwindet (also ungleich 0 ist), eine gerade Ableitung ist.

Nun:
Wenn f eine Nullstelle ungerader Vielfachheit n bei [mm] x_{0} [/mm] hat, heißt das, dass die erste Ableitung, die nicht verschwindet, eine "gerade" Ableitung ist, und somit ein Extremum von F bei [mm] x_{0} [/mm] vorliegt.

Was sagt Ihr dazu? Macht das so Sinn???
Oder drehe ich mich im Kreis.

Es gilt doch der Satz, dass f ein Extremum bei [mm] x_{0} [/mm] besitzt, wenn [mm] f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(2n-1)}(x_{0}) [/mm] und [mm] f^{(2n)}(x_{0})\not=0 [/mm] gilt, oder?

Besten Dank im Voraus!

TB

        
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:18 Mi 11.05.2011
Autor: wieschoo

Hi,

Ich überlege gerade, ob das überhaupt gilt.
$f(x)=x*^2$

Hat doppelte Nullstelle bei x=0 aber keinen VZW.

Wo ist mein Denkfehler?


Bezug
                
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:45 Mi 11.05.2011
Autor: tb1804

@Wieschoo: mein Fehler. Es gilt genau anders rum. Hab es bereits korrigiert.

@ Fred97: Besten Dank!

Hat zufällig noch jemand den Beweis dafür parat, dass ein Extremum vorliegt, wenn gilt [mm] f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{2n-1}(x_{0})=0 [/mm] und [mm] f^{2n}(x_{0})\not=0? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 Mi 11.05.2011
Autor: fred97


> @Wieschoo: mein Fehler. Es gilt genau anders rum. Hab es
> bereits korrigiert.
>
> @ Fred97: Besten Dank!
>  
> Hat zufällig noch jemand den Beweis dafür parat, dass ein
> Extremum vorliegt, wenn gilt
> [mm]f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{2n-1}(x_{0})=0[/mm] und
> [mm]f^{2n}(x_{0})\not=0?[/mm]  

Dann hast Du (ähnlich wie in meiner Antwort oben):

                

                  (*)     f(x)= [mm] f(x_0)+$ \bruch{f^{(2n)}(t_x)}{(2n)!}(x-x_0)^{2n} [/mm] $  für alle x $ [mm] \in [/mm] $ U

Ist [mm] \bruch{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}>0, [/mm] so folgt aus (*):  f(x) [mm] \ge f(x_0) [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] U

Ist [mm] \bruch{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}<0, [/mm] so folgt aus (*):  f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] U

FRED


Bezug
        
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Mi 11.05.2011
Autor: fred97

Sei I ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm]  der Einfachheit halber beliebig oft differenzierbar auf I.

Sei [mm] x_0 \in [/mm] I eine n-fache Nullstelle von f, also [mm] f(x_0)=f'(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0 [/mm] und [mm] f^{(n)}(x_0) \ne [/mm] 0. Weiter nehmen wir an, dass [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt von I ist.

Der Satz von Taylor liefert: es gibt eine Umgebung U [mm] \subseteq [/mm] I von [mm] x_0 [/mm] und ein [mm] t_x \in [/mm] U mit:

                       (1) f(x)= [mm] \bruch{f^{(n)}(t_x)}{n!}(x-x_0)^n [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] U

Weiter kann U so klein gewählt werden, dass

                        (2)    [mm] f^{(n)}(x_0) *f^{(n)}(s) [/mm] >0 für alle s in U.

Fall 1:  n ist gerade.

Ist [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] >0, so folgt aus (1) und (2):  f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für jedes x [mm] \in [/mm] U, also kein VZW.

Ist [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] <0, so folgt aus (1) und (2):  f(x) [mm] \le [/mm] 0 für jedes x [mm] \in [/mm] U, also kein VZW.

Fall 2: n ist ungerade:  wieder sieht man mit (1) und (2): es liegt ein VZW vor.

FRED

Bezug
                
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Mi 11.05.2011
Autor: tb1804


Hat zufällig noch jemand den Beweis dafür parat, dass ein Extremum vorliegt, wenn gilt [mm] f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{2n-1}(x_{0})=0 [/mm] und [mm] f^{2n}(x_{0})\not=0? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mi 11.05.2011
Autor: fred97

Diese Frage hab ich soeben beantwortet.

FRED

Bezug
                
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 11.05.2011
Autor: tb1804

Nicht ganz klar ist mir, warum [mm] t_{x} [/mm] auftaucht und woher das s kommt.

Müsste [mm] t_{x} [/mm] nicht die Entwicklungsstelle (also [mm] x_{0}) [/mm] sein?

Gehe ich recht in der Annahme, dass s ein Wert nahe bei [mm] x_{0}, [/mm] so dass [mm] f^{n}(x_{0}) [/mm] und [mm] f^{n}(s) [/mm] vorzeichengleich sind?


Bezug
                        
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Vielfachheit v Nullst. u VZW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mi 11.05.2011
Autor: fred97


> Nicht ganz klar ist mir, warum [mm]t_{x}[/mm] auftaucht

[mm] t_x [/mm] ist die Zwischenstelle aus dem Satz von Taylor


>und woher

> das s kommt.
>
> Müsste [mm]t_{x}[/mm] nicht die Entwicklungsstelle (also [mm]x_{0})[/mm]
> sein?

Nein. s.o.


>  
> Gehe ich recht in der Annahme, dass s ein Wert nahe bei
> [mm]x_{0},[/mm] so dass [mm]f^{n}(x_{0})[/mm] und [mm]f^{n}(s)[/mm] vorzeichengleich
> sind?

Genau

FRED

>  


Bezug
                                
Bezug
Vielfachheit v Nullst. u VZW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Mi 11.05.2011
Autor: tb1804

Alles klar - jetzt hab ich's geschnallt!!!
So macht es Sinn!

VIELEN Dank!!!


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