Verzerrung, Bias des Schätzers < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Externes Bild http://www-users.rwth-aachen.de/Thomas.Friese/Bild%202.png] |
Hi
ich schreibe morgen meine Statistik-Klausur und bei Aufgabenteil b) habe ich keine Idee was ich machen soll. ich hoffe ihr könnt mir helfen:
Zu a)
Seien $a = 0$, [mm] $b=\vartheta$
[/mm]
[mm] $$E(\hat{\vartheta}_n)$$
[/mm]
$$= [mm] E(a\overline{X}_n)$$
[/mm]
$$= [mm] E(\frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}{X}_i)$$
[/mm]
$$= [mm] \frac{a}{n}E(\sum_{i=1}^{n}{X}_i)$$
[/mm]
$$= [mm] \frac{a}{n}E(\frac{1}{n}\overline{X})$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{a}{n^2}E(\overline{X})$$
[/mm]
$$= [mm] \frac{a}{n^2}\cdot (\frac{a+b}{2})$$
[/mm]
$$= [mm] \frac{a^2+ab}{2n^2}$$
[/mm]
Nun ist
[mm] $$\frac{a^2+ab}{2n^2} [/mm] = 0$$
[mm] $$\Leftrightarrow a^2+ab [/mm] = 0$$
[mm] $$\Leftrightarrow a^2 [/mm] = -ab$$
[mm] $$\Leftrightarrow [/mm] a = -b$$
[mm] $$\Leftrightarrow [/mm] a = [mm] -\vartheta$$
[/mm]
Also ist für $a = [mm] -\vartheta$ $\hat{vartheta}_n$ [/mm] erwartungstreuer Schätzer!
b)
Der Bias ist ja defineirt als
[mm] $$E_{\vartheta}\hat{\vartheta}-\vartheta$$
[/mm]
Aber ich sehe irgendwie nicht wie ichd as ausrechnen soll. Insbesondere durch die Definition des BIAS im Aufgabentext
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 15.07.2010 | | Autor: | gfm |
> [Externes Bild http://www-users.rwth-aachen.de/Thomas.Friese/Bild%202.png]
> Hi
> ich schreibe morgen meine Statistik-Klausur und bei
> Aufgabenteil b) habe ich keine Idee was ich machen soll.
> ich hoffe ihr könnt mir helfen:
>
> Zu a)
> Seien [mm]a = 0[/mm], [mm]b=\vartheta[/mm]
> [mm]E(\hat{\vartheta}_n)[/mm]
> [mm]= E(a\overline{X}_n)[/mm]
> [mm]= E(\frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}{X}_i)[/mm]
>
> [mm]= \frac{a}{n}E(\sum_{i=1}^{n}{X}_i)[/mm]
> [mm]= \frac{a}{n}E(\frac{1}{n}\overline{X})[/mm]
>
> [mm]=\frac{a}{n^2}E(\overline{X})[/mm]
> [mm]= \frac{a}{n^2}\cdot (\frac{a+b}{2})[/mm]
> [mm]= \frac{a^2+ab}{2n^2}[/mm]
>
> Nun ist
> [mm]\frac{a^2+ab}{2n^2} = 0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow a^2+ab = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow a^2 = -ab[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow a = -b[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow a = -\vartheta[/mm]
>
> Also ist für [mm]a = -\vartheta[/mm] [mm]\hat{vartheta}_n[/mm]
> erwartungstreuer Schätzer!
>
> b)
>
> Der Bias ist ja defineirt als
> [mm]E_{\vartheta}\hat{\vartheta}-\vartheta[/mm]
>
> Aber ich sehe irgendwie nicht wie ichd as ausrechnen soll.
> Insbesondere durch die Definition des BIAS im Aufgabentext
Habe nie Statistik gehört, aber ich würde es so machen:
(a)
Vor.: seien [mm] X_i, [/mm] i=1,...,n, unabh. und identisch gleichmäßig stetig in [mm] [0,\theta] [/mm] verteilt, wobei [mm] \theta>0 [/mm] sein soll. Zur Schätzung von [mm] \theta [/mm] werde [mm] a/n\summe X_i [/mm] verwendet.
Aufgabe: Für welches a ist [mm] a/n\summe X_i [/mm] erwartungstreu?
Lösung: [mm] \theta=\operatorname{E}\left[a/n\summe X_i\right]=a/n\summe \operatorname{E}\left[ X_i\right]=a/n*n\theta/2=a\theta/2\Rightarrow [/mm] a=2
(b)
Vor.: seien [mm] Y_i, [/mm] i=1,...,n, unabh. und identisch verteilt mit [mm] \mu=\operatorname{E}[Y_i] [/mm] und [mm] 0<\sigma^2=\operatorname{VAR}[Y_i]<\infty. [/mm] Zur Schätzung von [mm] \mu^2 [/mm] werde [mm] \left(1/n\summe Y_i\right)^2 [/mm] verwendnet.
Aufgabe: Berechne [mm] \operatorname{E}\left[\left(1/n\summe_i Y_i\right)^2\right]-\mu^2.
[/mm]
Lösung:
[mm] =1/n^2\operatorname{E}\left[\summe_{i,j} Y_iY_j\right]-\mu^2=1/n^2\summe_{i,j}\operatorname{E}\left[Y_iY_j\right]-\mu^2=1/n^2\left(\summe_{i<>j}\operatorname{E}\left[Y_iY_j\right]+\summe_{i=j}\operatorname{E}\left[Y_iY_j\right]\right)-\mu^2=1/n^2\left(\summe_{i<>j}\operatorname{E}[Y_i]\operatorname{E}[Y_j]+\summe_{i=j}\operatorname{E}[Y_i^2]\right)-\mu^2
[/mm]
[mm] =1/n^2\left(n*(n-1)\mu^2+\summe_{i=j}\left(\operatorname{VAR}[Y_i]+\mu^2\right)\right)-\mu^2=1/n^2\left(n*(n-1)\mu^2+n*\sigma^2+n*\mu^2\right)-\mu^2=1/n*\sigma^2
[/mm]
LG
gfm
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Ich versteh nicht so ganz warum du mit [mm] $\theta$ [/mm] den Erwartungswert abschätzt. Vielleicht kann jemand der Statistik schonmal gehört hat was dazu sagen ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Do 15.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ich versteh nicht so ganz warum du mit [mm]\theta[/mm] den
> Erwartungswert abschätzt. Vielleicht kann jemand der
> Statistik schonmal gehört hat was dazu sagen ;)
Das steht doch in der Aufgabe:
Jede der [mm] X_i [/mm] habe die Verteilungsdichte [mm] f(t)=1/\theta*1_{[0,\theta]}(t). [/mm] Damit ist [mm] E[X_i]=\theta/2. [/mm] Geschätzt werden soll [mm] \theta [/mm] mit [mm] \hat\theta:=a/n\summe_i X_i [/mm]
a=2 macht ja auch Sinn, denn der Parameter [mm] \theta [/mm] ist ja die Länge des Bereichs, in dem die Werte der [mm] X_i [/mm] gleichmäßig streuen. Ihr Mittelwert wird dann [mm] \theta/2 [/mm] sein. Ein Schätzer für den Mittelwert ist ja gerade [mm] 1/n\summe_i X_i. [/mm] Deswegen schätzt das doppelte davon [mm] \theta.
[/mm]
Und erwartungstreu ist der Schätzer, wenn [mm] \theta=E[\hat\theta], [/mm] oder wie lautet Deine Definition von erwartungstreu?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 17.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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