Vervollständigung von Maßraum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wie kann ich zeigen, dass ein Maßraum [mm] (\Omega, A^*,\mu^* [/mm] ) eine Vervollständigung von ( [mm] \Omega, [/mm] A, [mm] \mu) [/mm] ist?
Vervollständigung heißt doch, das es die kleinste vollständige Fortsetzung ist, oder?
Ich habe dazu folgende Aufgabe bekommen:
Sei [mm] \mu [/mm] ein Prämaß auf einem Ring in [mm] \Omega. [/mm] Zu jedem Q [mm] \in P(\Omega) [/mm] setzen wir
U(Q) := { [mm] (A_n):A_n \in [/mm] R, n [mm] \in \IN [/mm] mit Q [mm] \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n [/mm] } und
[mm] \mu^* [/mm] (Q) = {inf { [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \mu (A_n) :A_n \in [/mm] U(Q)} falls [mm] U(Q)\not= \emptyset [/mm] }
= {+ [mm] \infty [/mm] falls [mm] U(Q)=\emptyset [/mm] }
Dann gilt:
1. [mm] \mu^* [/mm] ist ein äußeres Maß auf [mm] P(\Omega)
[/mm]
2. Ist A^* Menge der [mm] \mu^* [/mm] -messbaren Mengen, so ist A^* [mm] \sigma-Algebra [/mm] und R [mm] \subseteq [/mm] A^*.
3. [mm] \mu^* [/mm] ist Maß auf [mm] \A^* [/mm] und [mm] \mu^*| [/mm] _R = [mm] \mu.
[/mm]
Zeige: [mm] (\Omega,A^*,\mu^*| _\A^*) [/mm] ist die Vervollständigung von [mm] (\Omega, \sigma(R), \mu^*| _\sigma(R)).
[/mm]
Kann mir das jemand mal erklären? Danke!
Jacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mathe-Genius!
Eine Möglichkeit von vielen ist es das folgende zu zeigen:
1) [mm] $(\Omega,{\cal A}^{\*},\mu^{\*})$ [/mm] ist vollständig.
2) Eine Menge [mm] $A_0 \subset \Omega$ [/mm] liegt genau dann in [mm] ${\cal A}^{\*}$, [/mm] wenn es Mengen [mm] $A_1,A_2 \in {\cal A}=\sigma({\cal R})$ [/mm] gibt mit [mm] $A_1 \subset A_0 \subset A_2$ [/mm] und
[mm] $\mu(A_2 \setminus A_1)=0$.
[/mm]
Denn die [mm] $\mu$-Vervollständigung [/mm] von [mm] $\sigma({\cal R})$ [/mm] besteht gerade aus den Mengen
$A [mm] \cup [/mm] N$
mit $A [mm] \in \sigma({\cal R})$ [/mm] und einer Teilmenge $N$ einer [mm] $\mu$-Nullmenge.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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