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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum.
Sei µ(X) := [mm] \{(a_{n})_{n} | (a_{n})_{n} \mbox{ist Cauchyfolge}\} [/mm] eine Menge, auf die eine Äquivalenzrelation definiert wird mit
[mm] (a_{n})_{n}\sim(b_{n})_{n}\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n}, b_{n}) [/mm] = 0
Definiere X' := [mm] µ(X)/\sim [/mm] und sei
d': [mm] X'xX'\to\IR, ([(a_{n})], [(b_{n})])\mapsto \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n}, b_{n})
[/mm]
eine Metrik auf X'.
Definiere g: [mm] X\to [/mm] X', [mm] x\mapsto [/mm] [(x,x,x...)].
Zeige, dass der metrische Raum (X', d') vollständig ist, dass g eine Isometrie ist und [mm] \overline{g(X)}=X' [/mm] gilt. |
Hallo,
bei der Aufgabe oben frage ich mich wie Cauchyfolgen in X' aussehen. Sind das Folgen von der Form [mm] ([a_{n}])_{n}, [/mm] in der der Repräsentant der Äqu.-Klasse eine Cauchyfolge ist? Falls ja, dann ist die Aufgabe doch trivial, da jede Cauchyfolge in X' eine Folge von äquivalenten Äqu.-Klassen wäre, deren Grenzwert dieselbe Äqu.-Klasse wäre und somit in X' liegt?
Zu der Isometrie von g ist, denke ich, ebenfalls nicht viel zu sagen, da g nichts anderes tut, außer jedes Element x aus X auf die Äqu.-Klasse in X' zu schicken, in der alle Cauchyfolgen liegen, die gegen x konvergieren. Dann folgt schon aus der Definition der Metrik d', dass g eine Isometrie ist.
Nun frage ich mich aber, warum [mm] \overline{g(X)}=X' [/mm] gilt. Müsste denn nicht schon g(X)=X' gelten? In der Menge g(X) liegen alle Äqu.-Klassen [mm] [(x)_{n}] [/mm] mit [mm] x\inX, [/mm] d.h. für jegliche Cauchyfolge, die gegen ein Element in X konvergiert hätte man also eine Äqu.-Klasse in g(X), die auch in X' liegt. Wären die Mengen, damit nicht schon gleich?
Hmm... während ich hier gerade schreibe, fällt mir ein, dass (X,d) ja gar nicht vollständig ist. Es kann also Cauchyfolgen in X geben, die nicht gegen ein [mm] x\inX [/mm] konvergieren, für die es aber eine Äqu.-Klasse in X' gibt? Wie kann ich dann aber argumentieren, dass der Rand von g(X) genau diese Äqu.-Klassen enthält?
Gruß,
Gedro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (X,d) ein metrischer Raum.
>
> Sei µ(X) := [mm]\{(a_{n})_{n} | (a_{n})_{n} \mbox{ist Cauchyfolge}\}[/mm]
> eine Menge, auf die eine Äquivalenzrelation definiert wird
> mit
>
> [mm](a_{n})_{n}\sim(b_{n})_{n}\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n}, b_{n})[/mm]
> = 0
>
> Definiere X' := [mm]µ(X)/\sim[/mm] und sei
> d': [mm]X'xX'\to\IR, ([(a_{n})], [(b_{n})])\mapsto \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n}, b_{n})[/mm]
>
> eine Metrik auf X'.
>
> Definiere g: [mm]X\to[/mm] X', [mm]x\mapsto[/mm] [(x,x,x...)].
>
> Zeige, dass der metrische Raum (X', d') vollständig ist,
> dass g eine Isometrie ist und [mm]\overline{g(X)}=X'[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> bei der Aufgabe oben frage ich mich wie Cauchyfolgen in X'
> aussehen. Sind das Folgen von der Form [mm]([a_{n}])_{n},[/mm] in
> der der Repräsentant der Äqu.-Klasse eine Cauchyfolge
> ist?
ähm, ne, bzw. entweder steht bei Dir der Index an der falschen Stelle, oder Du musst nochmal genau sagen, was bzw. aus welchen Raum die [mm] $a_n$ [/mm] sind.
> Falls ja, dann ist die Aufgabe doch trivial,
Das finde ich keinesfalls:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $X'\,,$ [/mm] so bedeutet das doch, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Folgenglied [mm] $a_n\,$ [/mm] selbst eine Äquivalenzklasse einer Cauchyfolge aus [mm] $X\,$ [/mm] ist:
Anders gesagt: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $a_n=[(x^{(n)}_k)_k]$, [/mm] wobei [mm] $(x^{(n)}_k)_k$ [/mm] selbst eine Cauchyfolge in [mm] $X\,.$
[/mm]
Also [mm] $(a_n)_n=([(x_k^{(n)})_k])_n\,.$ [/mm] Anders gesagt: Die Cauchyfolge [mm] $(x_k^{(n)})_k \in X^{\IN}$ [/mm] ist ein Repräsentant des Folgenglieds [mm] $a_n$ [/mm] der Cauchyfolge [mm] $(a_n)_n \in (X\,')^{\IN}\,.$
[/mm]
[ Bemerkung: Mal nebenbei: Ich würde hier bei der Aufgabe auch zeigen, dass [mm] $\sim$ [/mm] auch wirklich eine Äquivalenzrelation auf [mm] $\mu(X)\,$ [/mm] ist. Insbesondere sollte man auch klären, dass [mm] $d'\,$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $X\,'$ [/mm] ist - wobei auch die Wohldefiniertheit von [mm] $d\,'$ [/mm] nachzuweisen ist:
Letzteres heißt, dass der Wert von [mm] $d'(a,b)\,$ [/mm] für Äquivalenzklassen [mm] $a=[(p_n)_n]$ [/mm] und [mm] $b=[(q_n)_n]\,,$ [/mm] wobei [mm] $(p_n)_n$ [/mm] als Cauchyfolge in [mm] $X\,$ [/mm] ein Repräsentant von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $(q_n)_n$ [/mm] als Cauchyfolge in [mm] $X\,$ [/mm] ein Repräsentant von [mm] $b\,$ [/mm] sei, nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt.
Genauer:
Für Cauchyfolgen [mm] $(p_n)_n,(p'_n)_n\,,$ $(q_n)_n$ [/mm] und [mm] $(q'_n)_n$ [/mm] in [mm] $X\,$ [/mm] ist zu zeigen:
Gilt [mm] $a=[(p_n)_n]=[(p'_n)_n]$ [/mm] und [mm] $b=[(q_n)_n]=[(q_n')_n]\,,$ [/mm] so muss auch
[mm] $$\lim_{n \to \infty}d(p_n,q_n)=\lim_{n \to \infty}d(p_n',q_n')$$
[/mm]
sein! Das ist nicht (ganz) trivial! ]
So, und wenn nun [mm] $(a_n)_n=([(x_k^{(n)})_k])_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $(X\,')$ [/mm] ist, dann existiert zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ dann
[mm] $$d'([(x^{(n)}_k)_k],\,[(x^{(m)}_\ell)_\ell]) [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
ausfällt!
> da jede
> Cauchyfolge in X' eine Folge von äquivalenten
> Äqu.-Klassen wäre, deren Grenzwert dieselbe Äqu.-Klasse
> wäre
Das glaube ich so nicht! Ich hab' den Beweis nicht mehr im Kopf, aber so trivial war das nicht. Such' mal im Internet nach "Vervollständigung metrischer Räume" oder ![[]](/images/popup.gif) schau mal hier.
Und ich denke, dass damit auch klar ist, dass der Rest Deiner Frage sich auch nicht so leicht beweisen läßt, wie Du es gerne gehabt hättest...
P.S.
Beachte auch, dass man [mm] "$X\,$ [/mm] in [mm] $X'\,$ [/mm] wiederfindet, und zwar, indem man zu [mm] $x_0 \in [/mm] X$ erstmal die Folge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $r_n:=x_0\,$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $(r_n)_n \in X^{\IN}$ [/mm] (in trivialer Weise) eine konvergente Folge in [mm] $X\,,$ [/mm] die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert. Nicht außer Acht zu lassen ist nun, dass [mm] $(r_n)_n$ [/mm] als konvergente Folge auch Cauchyfolge in [mm] $X\,$ [/mm] ist!"
Gruß,
Marcel
> und somit in X' liegt?
>
> Zu der Isometrie von g ist, denke ich, ebenfalls nicht viel
> zu sagen, da g nichts anderes tut, außer jedes Element x
> aus X auf die Äqu.-Klasse in X' zu schicken, in der alle
> Cauchyfolgen liegen, die gegen x konvergieren. Dann folgt
> schon aus der Definition der Metrik d', dass g eine
> Isometrie ist.
>
> Nun frage ich mich aber, warum [mm]\overline{g(X)}=X'[/mm] gilt.
> Müsste denn nicht schon g(X)=X' gelten? In der Menge g(X)
> liegen alle Äqu.-Klassen [mm][(x)_{n}][/mm] mit [mm]x\inX,[/mm] d.h. für
> jegliche Cauchyfolge, die gegen ein Element in X
> konvergiert hätte man also eine Äqu.-Klasse in g(X), die
> auch in X' liegt. Wären die Mengen, damit nicht schon
> gleich?
> Hmm... während ich hier gerade schreibe, fällt mir ein,
> dass (X,d) ja gar nicht vollständig ist. Es kann also
> Cauchyfolgen in X geben, die nicht gegen ein [mm]x\inX[/mm]
> konvergieren, für die es aber eine Äqu.-Klasse in X'
> gibt? Wie kann ich dann aber argumentieren, dass der Rand
> von g(X) genau diese Äqu.-Klassen enthält?
>
> Gruß,
> Gedro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Gedro |
Vielen Dank für die Antwort und vor allem den Link. :)
Dass ich nicht genau wusste was Cauchyfolgen von Äqu.-Klassen sind bzw. wie sie aussehen sollen, war genau der Grund warum ich mir bei meiner Argumentation so unsicher war.
Nehmen wir z.b. den Raum [mm] (\IQ,d) [/mm] mit der Standardmetrik, der nicht vollständig ist, da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Liege ich richtig, dass z.b. für die Folge [mm] (\bruch{1}{n})_{n}\subseteq\IQ [/mm] in [mm] \IQ' [/mm] gilt: [mm] [(\bruch{1}{n})_{n}]\sim [(0)_{n}]\sim[(\bruch{3}{n^{2}})_{n}]\sim [/mm] ...
In dieser Klasse liegen jetzt alle Folgen, die gegen 0 konvergieren.
Ich versuche jetzt mal eine Folge in [mm] \IQ' [/mm] zu konstruieren:
Sei [mm] (\bruch{1}{k})_{k}\subseteq\IQ [/mm] eine Cauchy-Folge.
Ihre Äqu.-Klasse in [mm] \IQ' [/mm] ist [mm] [(\bruch{1}{k})_{k}]. [/mm] Eine Folge in [mm] \IQ' [/mm] wäre nun z.B. [mm] [(\bruch{n}{k})_{k}]_{n}.
[/mm]
Ist das eine Folge von Äqu.-Klassen in [mm] \IQ'?
[/mm]
Und wie würde sie sich verhalten?
Gehe ich richtig in der Annahme, dass für [mm] \forall n\in\IN [/mm] gilt, dass [mm] [(\bruch{n}{k})_{k}]_{n}\sim [(\bruch{1}{k})_{k}]\sim [(0)_{k}] [/mm] , aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[(\bruch{n}{k})_{k}]_{n} [/mm] nicht gegen ein [mm] x'\in\IQ', [/mm] also eine andere Äqu.-Klasse konvergiert?
Gruß,
Gedro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz:
> Vielen Dank für die Antwort und vor allem den Link. :)
>
> Dass ich nicht genau wusste was Cauchyfolgen von
> Äqu.-Klassen sind bzw. wie sie aussehen sollen, war genau
> der Grund warum ich mir bei meiner Argumentation so
> unsicher war.
> Nehmen wir z.b. den Raum [mm](\IQ,d)[/mm] mit der Standardmetrik,
> der nicht vollständig ist, da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
> Liege ich richtig, dass z.b. für die Folge
> [mm](\bruch{1}{n})_{n}\subseteq\IQ[/mm] in [mm]\IQ'[/mm] gilt:
> [mm][(\bruch{1}{n})_{n}]\sim [(0)_{n}]\sim[(\bruch{3}{n^{2}})_{n}]\sim[/mm]
> ...
> In dieser Klasse liegen jetzt alle Folgen, die gegen 0
> konvergieren.
ja - jedenfalls sehe ich das genauso. Und strenggenommen liegen (in [mm] $[(0)_{n \in \IN}]$) [/mm] da sogar jetzt genau alle Folgen (in [mm] $\IQ$), [/mm] die gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergieren. Denn ist [mm] $(q_n)_n$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $\IQ$ [/mm] und ist [mm] $(p_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] so, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}|q_n-p_n|=0\,,$ [/mm] so folgt schon, dass auch [mm] $p_n \to 0\,.$ [/mm] Überleg' Dir das mal!
Und:
Interessanter wäre es vielleicht, mal (mit dem Babylonischen Wurzelziehen etwa) eine Folge [mm] $(q_k)_k$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] anzugeben, die gegen [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] konvergiert... Aber nun gut.
Ich bin leider etwas im Stress, daher bei Gelegenheit mal mehr zu dem ganzen - zudem: Ich muss mich da auch erstmal nochmal ein wenig wieder reindenken.
> Ich versuche jetzt mal eine Folge in $ [mm] \IQ' [/mm] $ zu konstruieren:
> Sei $ [mm] (\bruch{1}{k})_{k}\subseteq\IQ [/mm] $ eine Cauchy-Folge.
> Ihre Äqu.-Klasse in $ [mm] \IQ' [/mm] $ ist $ [mm] [(\bruch{1}{k})_{k}]. [/mm] $ Eine Folge in $ [mm] \IQ' [/mm] $ wäre nun z.B. $ [mm] [(\bruch{n}{k})_{k}]_{n}. [/mm] $
> Ist das eine Folge von Äqu.-Klassen in $ [mm] \IQ'? [/mm] $
Ja. Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist ja [mm] $(n/k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ$ [/mm] (die wieder die [mm] $[(0)_k] \in \IQ\,'$ [/mm] repräsentiert).
Das Folgenglied [mm] $[(n/k)_{k \in \IN}]$ [/mm] selbst ist ein Element von [mm] $\IQ\,'\,,$ [/mm] und die Folge [mm] $([(n/k)_{k}])_{n \in \IN}$ [/mm] ist Cauchy in [mm] $\IQ\,'\,.$
[/mm]
P.S.
Weil man hier schnell durcheinander kommen kann, lies' Dir bitte meine Antworten genau durch und denke nochmal drüber nach. Wenn Du denkst, dass da etwas falsch ist, bitte dringend nachfragen oder mich drauf hinweisen - das sollte dann schnellstens korrigiert werden!
Gruß,
Marcel
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