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| Aufgabe | Sei F eine absolut stetige Verteilungsfunktion mit Träger [0;1] für deren Erwartungswert gilt: 0< [mm] \mu_F [/mm] < 1. Beweisen sie die folgenden Aussagen:
a) F besitze eine auf [0;1] fallende Dichte f, es seien [mm] \mu_F [/mm] < 0.5 und 0 < [mm] \delta [/mm] < 1, so dass [mm] f(t)<2\mu_F [/mm] für t [mm] \in (\delta; [/mm] 1). Dann gilt [mm] \integral_{0}^{1}{x^2dF(x)} \le \bruch{2\mu_F}{3}.
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion [mm] G(t)=1-2\mu_F+2\mu_F*t [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1. Zeigen Sie zuerst dass G eine Verteilungsfunktion ist und [mm] \mu_F=\mu_G [/mm] gilt. Der Beweis der Aussage erfolgt dann durch Anwendung von Satz A.1
Satz A.1: Seien F und G zwei Verteilungen mit dem reellen Intervall [0;1] als Träger und identischen Erwartungswerten [mm] \mu_F=\mu_G. [/mm] Wenn G-F nur einen Vorzeichenwechsel auf [0;1] besitzt, und wenn der Wechsel von + nach - stattfindet, dann gilt [mm] \integral{x^2dF(x)}\le \integral{x^2dG(x)}. [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann. Es ist mir eigentlich relativ klar, was zu tun ist, der Hinweis ist ja auch sehr genau.
Also wollte ich zunächst zeigen, dass G eine Verteilungsfunktion ist. Da ergab sich aber schon das erste Problem: G ist zwar monoton steigend, rechtsseitig stetig, G(1)=1, aber [mm] G(0)=1-2\mu_F \not= [/mm] 0. Somit wäre meiner Meinung nach G gar keine Verteilungsfunktion, aber irgendwie denk ich wohl falsch, oder?
Hab aber dann trotzdem schonmal weitergemacht, [mm] \mu_F=\mu_G [/mm] zu zeigen, war kein Problem.
Dann muss ich ja zeigen, dass G-F nur einen VZW-Wechsel von + nach - besitzt. Dazu habe ich mir überlegt, dass F konkav sein muss, da f fallend. G ist eine Gerade, somit schneiden sie sich in einem Punkt und treffen sich in (1;1). Also findet ein VZW statt und ich kann den obigen Satz anwenden und komme dann auch auf die Ungleichung.
Aber ich bin immer noch verwirrt in Bezug auf G, da sie ja nicht durch (0;0) geht...
Wäre super, wenn mir bei der Aufgabe mal jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Vielen Dank schonmal,
Grüße
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 29.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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