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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Do 07.05.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | (1) [mm] f\circ [/mm] F und [mm] F\circ [/mm] g sind Verteilungsfunktionen, wenn f: [mm] [0,1]\to[0,1] [/mm] und g: [mm] \IR\to\IR [/mm] stetig,surjektiv und monoton steigend sind und F eine Verteilungsfkt ist.
(2) Ist [mm] h:[0,1]x[0,1]\to[0,1] [/mm] stetig,surjektiv und schwach monoton (d.h. [mm] x_{1}\le x_{2},y_{1}\le y_{2}\Rightarrow h(x_{1},y_{1})\le h(x_{2},y_{2}) [/mm] und F,G Verteilungsfkten, dann ist [mm] h\circ [/mm] (F,G) eine Verteilungsfkt |
Hallo alle zusammen,
ich hab mir mal ein paar Gedanken zu der Aufgabe gemacht, bin mir aber überhaupt nichtsicher, ob das so stimmt. Wäre toll, wenn sich jemand das mal ansehen könnte.
Zu a)Für [mm] f\circ [/mm] F: I. ZZ: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (f\circ [/mm] F)(x)=1
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (f(F(x))=f(\limes_{x\rightarrow\infty}F(x))=f(1)=1.
[/mm]
Das erste "=",weil f rechtsseitig stetig ist (?), das vorletzte, weil F Verteilungsfkt ist mit [mm] F(\infty)=1 [/mm] und das letzte "=", denn f ist surjektiv,monoton steigend und stetig.
II:Analog zeigt man [mm] f(F(-\infty))=0.
[/mm]
III. F rechtsseitig stetig, f stetig [mm] \Rightarrow f\circ [/mm] F rechtsseitig stetig.
Ist das klar, oder wie könnte man das mit Formeln begründen?
IV. [mm] f\circ [/mm] F monoton, da:
[mm] x_{1}
zu b)
I.Wie kann man das hier mit der rechtsseitigen Stetigkeit zeigen?
II. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}(h((F(x),G(y))
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}h((F(x),1)=h((1,1))=1,
[/mm]
stimmt das ?
Wäre toll, wenn ihr mir Feedback geben könntet. Danke !
Viele Grüße
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 07.05.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> (1) [mm]f\circ[/mm] F und [mm]F\circ[/mm] g sind Verteilungsfunktionen, wenn
> f: [mm][0,1]\to[0,1][/mm] und g: [mm]\IR\to\IR[/mm] stetig,surjektiv und
> monoton steigend sind und F eine Verteilungsfkt ist.
>
> (2) Ist [mm]h:[0,1]x[0,1]\to[0,1][/mm] stetig,surjektiv und schwach
> monoton (d.h. [mm]x_{1}\le x_{2},y_{1}\le y_{2}\Rightarrow h(x_{1},y_{1})\le h(x_{2},y_{2})[/mm]
> und F,G Verteilungsfkten, dann ist [mm]h\circ[/mm] (F,G) eine
> Verteilungsfkt
> Hallo alle zusammen,
>
> ich hab mir mal ein paar Gedanken zu der Aufgabe gemacht,
> bin mir aber überhaupt nichtsicher, ob das so stimmt. Wäre
> toll, wenn sich jemand das mal ansehen könnte.
>
> Zu a)Für [mm]f\circ[/mm] F: I. ZZ: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (f\circ[/mm]
> F)(x)=1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (f(F(x))=f(\limes_{x\rightarrow\infty}F(x))=f(1)=1.[/mm]
>
> Das erste "=",weil f rechtsseitig stetig ist (?),
Stetigkeit von $f$ reicht voellig 
> das
> vorletzte, weil F Verteilungsfkt ist mit [mm]F(\infty)=1[/mm]
Fuer Verteilungsfunktionen gilt ja immer [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] F(x) = 1$. Aber [mm] $F(\infty)$ [/mm] ist nicht definiert.
> und
> das letzte "=", denn f ist surjektiv,monoton steigend und
> stetig.
Genau. Wobei du stetig hier nicht brauchst (das folgt uebrigens schon aus monoton steigend und surjektiv).
> II:Analog zeigt man [mm]f(F(-\infty))=0.[/mm]
Du musst zeigen [mm] $\lim_{x\to-\infty} [/mm] f(F(x)) = 0$, [mm] $f(F(-\infty))$ [/mm] ist nicht definiert.
> III. F rechtsseitig stetig, f stetig [mm]\Rightarrow f\circ[/mm] F
> rechtsseitig stetig.
> Ist das klar, oder wie könnte man das mit Formeln
> begründen?
Das ist schon ok so.
> IV. [mm]f\circ[/mm] F monoton, da:
> [mm]x_{1}
Genau. Die Verkettung von zwei monoton steigenden Funktionen ist wieder monoton steigend.
> zu b)
> I.Wie kann man das hier mit der rechtsseitigen Stetigkeit
> zeigen?
Im mehrdimensionalen Fall muss die Verteilungsfunktion rechtsseitig stetig in jeder Variablen sein: d.h. du haelst alle Variablen fest bis auf eine, und dort betrachtest du den Limes von rechts. Also im Prinzip genauso wie oben.
> II.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}(h((F(x),G(y))[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}h((F(x),1)=h((1,1))=1,[/mm]
> stimmt das ?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix !
Danke mal wieder für deine Unterstützung =).
Beste Grüße
Christian
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