Verteilungsfunktion von X/Y < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X und Y unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsgrößen
mit stetiger Dichte f. Zeigen Sie, dass die Zufallsgröße
Z(x) [mm] :=\begin{cases}\frac{X(x)}{Y(x)} &\text{falls }Y(x)\neq 0 \\ 0 &\text{sonst} \end{cases}
[/mm]
ebenfalls eine Dichte besitzt und berechnen Sie diese allgemein! |
Ich weiß, dass [mm] F_X=F_Y, [/mm] da X und Y identisch verteilt sind. Ich dachte erst dass [mm] H=F_X/F_Y [/mm] die Verteilungsfunktion von X/Y ist. Aber dann wäre H=1. Glaube nicht, dass das so einfach ist...
Dann habe ich versucht für den Fall [mm] Y\neq [/mm] 0
[mm] F_{X/Y}(x)=P(X/Y\leq x)=P(X\leq xY)=F_X(xY).
[/mm]
Hm, komme einfach nicht weiter. Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Infinit |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Du hast hier ja eine Funktion zweier Zufallsgrößen und die hierduch definierte dritte Zufallsgröße, meist z genannt, erstreckt sich über ein Gebiet, dessen Aussehen, durch die Funktion bestimmt wird und das dadurch gekennzeichnet ist, das die x- und y-Werte der beiden gegebenen Zufallswerte gerade in der Region liegen, die durch die Funktion bestimmt wird.
Allgemein gilt
$$ F(z) = P(\bold{z} \leq z) = P((\bold{x},\bold{y})\in G_z)} = \int_{G_z} \int f(x,y) dx\, dy \, .$$
Zur Bestimmung der Dichte langt es, sich in diesem Gebiet einen Streifen [mm] \delta G_z [/mm] herauszupicken, in der Form, dass [mm] z < g(x,y) < z + dz [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, wobei die hier benutzte Funktion g gerade den Zusammenhang zwischen den beiden Zufallswerten beschreibt. So kommt man zu dem Zusammenhang
$$ f(z)\, dz = P(z < \bold{z} \leq z + dz}) = \int_{\delta G_z} \int f(x,y) dx \, dy $$
Mit dieser letzten Gleichung lässt sich ganz gut arbeiten, wenn man sich für die beiden Zufallswerte x und y die gerade eben beschriebenen Gebiete anschaut und über deren gemeinsame Dichte integriert.
Jetzt kann ich nur empfehlen, sich das oben beschriebene Gebiet mal aufzumalen. Mit etwas Umformerei kommt man für die Division zweier Zufallswerte auf den folgenden Zusammenhang:
$$ f(z) = \int_{- \infty}^{\infty} = |y| f(zy, y) dy \, $$
Viele Grüße,
Infinit
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