Verteilungsfunktion des Betrag < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | Ein Zufallsgenerator erzeugt zwei unabhängige, auf [0;1] gleichverteilte Zufallsvariablen X und Y.
Bezeichne mit Z=|X-Y| den Abstand zwischen X und Y.
Bestimme die Verteilungsfunktion,
die Dichte und den Erwartungswert von Z. |
Hallo, ich glaube wenn ich die Verteilungsfunktion habe, bzw. verstehe wie man sie erhält, dann bekomme ich den Rest auch noch hin.
Es ist [mm] F_{|X-Y|}(t)=F_{Z}(t)=\IP[|X-Y| \le t]=\IP[-t \le [/mm] X-Y [mm] \le t]=\IP[X-Y \le t]-\IP[X-Y \le [/mm] -t]. Nun weiß ich aber leider nicht wie ich weitermachen kann.
Hat jemand einen Hinweis für mich?
Viele Grüße :)
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Hi,
> Ein Zufallsgenerator erzeugt zwei unabhängige, auf [0;1]
> gleichverteilte Zufallsvariablen X und Y.
> Bezeichne mit Z=|X-Y| den Abstand zwischen X und Y.
> Bestimme die Verteilungsfunktion,
> die Dichte und den Erwartungswert von Z.
>
> Hallo, ich glaube wenn ich die Verteilungsfunktion habe,
> bzw. verstehe wie man sie erhält, dann bekomme ich den
> Rest auch noch hin.
>
> Es ist [mm]F_{|X-Y|}(t)=F_{Z}(t)=\IP[|X-Y| \le t]=\IP[-t \le[/mm]
> X-Y [mm]\le t]=\IP[X-Y \le t]-\IP[X-Y \le[/mm] -t]. Nun weiß ich
> aber leider nicht wie ich weitermachen kann.
Hängt von deinem Kenntnisstand ab. Für Summen unabhängiger Zufallsgrößen kann man die Dichte einerseits als Faltungsintegral berechnen:
[mm] f_{X-Y}(t)=f_{X+(-Y)}=f_X\ast f_{-Y}(t)=\int_{\IR}f_X(x)\cdot f_{-Y}(t-x)dx [/mm] für [mm] t\in\IR
[/mm]
Da der Betrag |X-Y| gefragt ist, müsstest du die Dichte für t>0 verdoppeln (das geht wegen der Verteilungsgleichheit von X-Y bzw. Y-X)...
Ohne Faltungsintegrale kannst du dir die Dichte auch "grafisch" herleiten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit den ZVen X,Y erhalten wir einen zufälligen Punkt der Fläche [mm] [0,1]\times[0,1]. [/mm] Die beiden schwarzen Linien markieren den Bereich, wo $|X-Y|=t, [mm] 0\le t\le [/mm] 1$. Problem: Die Linien sind eindimensional, deswegen lässt sich das Prinzip der geometrischen Wahrscheinlichkeit nicht direkt anwenden.
Das lässt sich aber umgehen, indem wir zunächst das eindimensionale Volumen [mm] $l(t)=\sqrt{2}2(1-t), 0
Für die Dichte [mm] f_{|X-Y|} [/mm] gilt dann
[mm] f_{|X-Y|}(t)=c\cdot l(t)\mathbbm{1}_{[0,1]}(t)
[/mm]
für eine noch zu bestimmende Konstante c (diese ergibt sich so, dass das Integral über die Dichtefunktion gerade 1 ergibt).
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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