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Hallo Leute
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss in der nächsten Übungsstunde zeigen, "dass eine Verteilungsfunktion höchstens abzählbar viele Sprungstellen hat".
Ich habe aber leider keine Ahnung, wie ich das machen soll.
Wäre super, wenn ihr mir schnell helfen könntet
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Hallo!
Vermutlich meinst du ein Wahrscheinlichkeitsmaß, ich nenne es mal [mm] $\mu$.
[/mm]
Angenommen, du hättest überabzählbar viele Sprungstellen [mm] $(x_i)_{i\in I}$. [/mm] Das bedeutet, dass [mm] $\mu(\{x_i\})=:m_i>0$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Teile nun die positive reelle Achse in die Intervalle [mm] $A_n:=\left[\bruch 1{n+1};\bruch 1n\right),\ A_0:=[1;\infty)$ [/mm] ein. Das sind abzählbar viele Intervalle. Weil du überabzählbar viele Punkte hast, muss es ein [mm] $n_0$ [/mm] geben, so dass unendlich viele [mm] $m_i\in A_{n_0}$. [/mm] Wähle nun die abzählbare Indexmenge [mm] $I_0\subset [/mm] I$ so, dass [mm] $m_i\in A_{n_0}$ [/mm] für alle [mm] $i\in I_0$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $1=\mu(X)\ge \mu\left(\bigcup\limits_{i\in I_0} \{x_i\}\right)=\summe_{i\in I_0} \mu(\{x_i\})\ge \summe_{i\in I_0}m_{i_0}=\infty$.
[/mm]
Das ist ein Widerspruch.
Eine Bemerkung noch: Der Grund, warum ich es auf eine abzählbare Menge [mm] $I_0$ [/mm] herunterbreche ist, dass ich nur abzählbare Summen "aus dem Maß herausziehen" kann.
Gruß, banachella
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