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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 03.06.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega=(0,1] [/mm] mit der Gleichverteilung P versehen. Darauf wird eine Zufallsvariable Zmit [mm] Z(\omega)=-log(\omega), \omega\in\Omega [/mm] definiert.
Bestimmen Sie die Verteilung von Z durch Berechnung von [mm] P[{\omega\in\Omega:Z(\omega)>\alpha}], \alpha\in\IR. [/mm] |
Hey Freunde der Mathematik!
Ich hänge schon seit einiger Zeit an der obgien Aufgabe. Und das dumme ist, ich glaube ich weiß die Lösung, aber ich kann sie nicht hinschreiben, weil irgendwas bei meiner Rechnung nicht stimmt. Aber ich seh den Fehler einfach nicht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Also meine Rechnung ist:
[mm] F_{Z}(\alpha)=P[-log(\omega)>\alpha]=P[\omega
So hier weiß ich jetzt nicht wie ich formal korrekt weiterschreiben muss.
Wenn ich das jetzt allerdings integriere, dann erhalte ich immer:
[mm] F_{Z}(\alpha)=e^{-\alpha}
[/mm]
Was aber gegen die Monotoniebedingung der Verteilungsfunktion verstößt.
Eigentlich müsste [mm] F_{Z}(\alpha)=-e^{-\alpha} [/mm] sein. Dann wäre Z exponentialverteilt, was auch Sinn machen würde.
Würde es auch gehen [mm] F_{Z} [/mm] durch [mm] P[Z(\omega)\ge\alpha] [/mm] zu berechnen?
Also kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Das wär echt klasse!
Danke schonmal im Voraus!
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Do 03.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]\Omega=(0,1][/mm] mit der Gleichverteilung P versehen.
> Darauf wird eine Zufallsvariable Zmit
> [mm]Z(\omega)=-log(\omega), \omega\in\Omega[/mm] definiert.
> Bestimmen Sie die Verteilung von Z durch Berechnung von
> [mm]P[{\omega\in\Omega:Z(\omega)>\alpha}], \alpha\in\IR.[/mm]
> Hey
> Freunde der Mathematik!
> Ich hänge schon seit einiger Zeit an der obgien Aufgabe.
> Und das dumme ist, ich glaube ich weiß die Lösung, aber
> ich kann sie nicht hinschreiben, weil irgendwas bei meiner
> Rechnung nicht stimmt. Aber ich seh den Fehler einfach
> nicht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Also meine
> Rechnung ist:
>
> [mm]F_{Z}(\alpha)=P[-log(\omega)>\alpha]=P[\omega
>
> So hier weiß ich jetzt nicht wie ich formal korrekt
> weiterschreiben muss.
> Wenn ich das jetzt allerdings integriere, dann erhalte ich
> immer:
>
> [mm]F_{Z}(\alpha)=e^{-\alpha}[/mm]
>
> Was aber gegen die Monotoniebedingung der
> Verteilungsfunktion verstößt.
> Eigentlich müsste [mm]F_{Z}(\alpha)=-e^{-\alpha}[/mm] sein. Dann
> wäre Z exponentialverteilt, was auch Sinn machen würde.
> Würde es auch gehen [mm]F_{Z}[/mm] durch [mm]P[Z(\omega)\ge\alpha][/mm] zu
> berechnen?
> Also kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
> Das wär echt klasse!
> Danke schonmal im Voraus!
> Grüße!
> skoopa
[mm] F_Z(t)=P(\{Z\le t\})=1-P(\{Z>t\})
[/mm]
[mm] P(\{Z>t\})=\integral_{(0,1]} 1_{\{Z>t\}}(\omega)d\omega=\lambda((0,1]\cap\{Z>t\})
[/mm]
[mm] \{Z>t\}=\{\omega\in(0,1]:-\ln \omega>t\}=\{\omega\in(0,1]:\omega
[mm] (\wedge [/mm] ist der Minimumoperator)
[mm] P(\{Z>t\})=\lambda((0,1]\cap(0, 1\wedge e^{-t}))=\lambda((0, 1\wedge e^{-t}))=e^{-t}1_{[0,\infty)}(t)+1_{(-\infty,0)}(t)
[/mm]
[mm] F_Z(t)=1-e^{-t}1_{[0,\infty)}(t)-1_{(-\infty,0)}(t)
[/mm]
[mm] =1_{(-\infty,\infty)}(t)-e^{-t}1_{[0,\infty)}(t)-1_{(-\infty,0)}(t)
[/mm]
[mm] =1_{[0,\infty)}(t)-e^{-t}1_{[0,\infty)}(t)=1_{[0,\infty)}(t)(1-e^{-t})
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 03.06.2010 | | Autor: | skoopa |
Und einmal mehr herzlichen Dank dir gfm!
Da war ich wenigstens nicht zu doof zum integrieren, sondern "nur" um den Zusammenhang zu sehen [mm] \mbox{:-)}
[/mm]
Hättest du vielleicht noch kurz eine Definition von dem Minimumoperator, den du da benutzt? Oder kannst kurz sagen, was der denn da macht? Hab grad gegoogelt, aber nichts sehr aussagekräftiges gefunden.
Oder wie könnte man das ohne Minimumoperator formulieren?
Also nochmals vielen, vielen Dank für die Hilfe und Geduld!
Gruß!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Fr 04.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Und einmal mehr herzlichen Dank dir gfm!
> Da war ich wenigstens nicht zu doof zum integrieren,
> sondern "nur" um den Zusammenhang zu sehen [mm]\mbox{:-)}[/mm]
> Hättest du vielleicht noch kurz eine Definition von dem
> Minimumoperator, den du da benutzt? Oder kannst kurz sagen,
> was der denn da macht? Hab grad gegoogelt, aber nichts sehr
> aussagekräftiges gefunden.
> Oder wie könnte man das ohne Minimumoperator
> formulieren?
Ach, das ist nur eine Abkürzung: [mm] a\wedge b:=\operatorname{min}(a,b) [/mm] und dann auch noch [mm] a\vee b=\operatorname{max}(a,b)
[/mm]
Das hab ich aus dem Bauer, Maßtheorie.
LG
gfm
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