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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:56 Mo 01.09.2008 | | Autor: | myro |
| Aufgabe | G(1)= 1/Sqrt(2*Pi) * [mm] \integral_{-\infty}^{1}{ e^{-t^2/2} dt}
[/mm]
Fläche von - [mm] \infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] ist gleich 1. Berechnen Sie näherungsweise G(1) mithilfe des Taylorpolynoms 2. Grades. Als Lösung ist 1/2 + 1/Sqrt(2Pi) angegeben.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab jetzt erstmal das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt t0 = 0 entwickelt, weil ich keine Ahnung habe, welchen Wert ich bei soviel Auswahl nehmen könnte:
Tayloplynom:
[mm] e^{-t^2/2} [/mm] = 1 - [mm] t^2/2
[/mm]
und erhalte nun nach Integration:
1/Sqrt(2Pi)* [mm] (t-t^3/6) [/mm] | von [mm] -\infty [/mm] bis 1
->
const* [(1-1/6) - [mm] \limes_{c\rightarrow-\infty}c-c^3/6]
[/mm]
nur geht jetzt, der Grenzwert gegen [mm] -\infty [/mm] (mit minus davor dann gegen [mm] +\infty) [/mm] beides ist nicht wirklich hilfreich, da die Fläche ja laut Ergebnis kovergiert.
Die einzige Lösung die ich mir zusammenreimen kann, ist dass die Glockenkurve ja auf beiden Seiten gleich ausschaut und somit die Fläche von [mm] -\infty [/mm] bis 0 = 1/2 hinzu kommt noch das Stück von 0 bis 1: 5/6* 1/Sqrt(2Pi) wodurch ich eine Gesamtfläche von 1/2 + 5/6 *1/Sqrt(2Pi) bekomme, was ja seeehr ungefähr das Ergebnis darstellt.
Ist die Fläche über das Taylorplynom nicht so einfach berechenbar (wieso divergiert das bei mir?), oder habe ich einen falschen Entwicklungspunkt gewählt? Der 2. Ansatz war mehr geraten, nachdem ich das Ergebnis angeschaut hatte, mittlerweile denk ich aber, dass die Aufgabe so gedacht war...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Mir scheint die Lösung nicht ganz zu stimmen. Und dass
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*\integral_{-\infty}^{0}{e^{\bruch{x^2}{2}} dx}=\bruch{1}{2} [/mm] ist, kann man hier gut verwenden.
Denn diese Parabel 2. Grades nähert nur die Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gut an. Wenn du dir die Parabel im unendlichen anguckst, geht sie ja gegen [mm] -\infty, [/mm] der Graph der eigentlichen Integrandenfunktion geht aber gegen 0, wodurch ja der endliche Flächeninhalt (das bestimmte Integral) von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zustande kommt.
Von daher kannst du mit deiner Näherung nur um 0 arbeiten.
Den Entwicklungspunkt bei 0 zu setzen war schon gut, damit kommt man der eigentlichen Lösung schon sehr nahe (0,2 unterschied).
Die Lösung ist also etwas ungenau.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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