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Verteilungsfunktion: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Di 14.11.2006
Autor: StefanN

Aufgabe
Berechnen Sie a und b so, dass
F(x) := a + b.arctan(x)
eine Verteilungsfunktion ist.
Sei X eine Zufallsvariable mit dieser Verteilungsfunktion F(x). Berechne Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 0 und 1 liegt.

Hallo!

Ich habe eigentlich kein Problem mit der Verteilungsfunktion, aber hier finde ich mal wieder keinen roten Faden. Wie soll ich hier vorgehen?

Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

mfg StefanN
        
Bezug
Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Di 14.11.2006
Autor: Walde

Hi StefanN,

naja, für eine Verteilungsfunktion müssen ja so ein paar Eigenschaften gelten. Kuck mal []hier.
Ich habs nicht selbst gerechnet, aber überleg halt mal ob arctan(x) monoton steigend ist, ob es von rechts stetig ist und wie es sich so für [mm] x\to-\infty [/mm] und  [mm] x\to\infty [/mm] verhält und wie dann a und b aussehen müssen, damit alle drei Eigenschaften erfüllt sind.

l G walde
Bezug
                
Bezug
Verteilungsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Mi 15.11.2006
Autor: StefanN

Hmmm, das verstehe ich leider jetzt nicht wirklich...
Kannst du mir den Vorgang bitte etwas genauer erklären?
Bezug
                        
Bezug
Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mi 15.11.2006
Autor: Walde

Hi StefanN,

klar, ich versuchs. Ist denn alles unklar? Du hast nicht geschrieben was du nicht verstehst.

Also eine Verteilungsfunktion F muss (wie du ja hoffentlich weisst oder inzwischen nachgelesen hast) drei Eigenschaften haben:

1. monoton steigend
2. stetig von rechts
3.a) [mm] \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 [/mm] und
   b) [mm] \lim_{x\to\infty}F(x)=1 [/mm]


Du hast als [mm] F(x)=a+b*\arctan(x) [/mm]

Du musst dir zunächst klar machen, welche Eigenschaften [mm] \arctan [/mm] hat. Falls du das nicht weisst (ich wusste es auch nicht auswendig) kuckst du irgendwo nach, z.B. []hier.

Es gilt also:

1. [mm] \arctan(x) [/mm] ist (sogar streng) monoton steigend. Ok.erste Eigenschaft erfüllt

2. [mm] \arctan(x) [/mm] hat keine Definitionslücken,Sprungstellen und dergleichen, ist also stetig (dann natürlich auch rechtsseitig stetig)

3. a) [mm] \lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=-\bruch{\pi}{2} [/mm] und
    b) [mm] \lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\bruch{\pi}{2} [/mm]

Bei 3. liegt also das Problem. Aber du hast ja nicht nur [mm] \arctan(x) [/mm] sondern [mm] a+b*\arctan(x). [/mm]  Es gilt nach den []Rechenregeln mit dem limes

[mm] \lim_{x\to-\infty}(a+b*\arctan(x))=a-b*\bruch{\pi}{2} [/mm] und

[mm] \lim_{x\to\infty}(a+b*\arctan(x))=a+b*\bruch{\pi}{2} [/mm]

Und da für F(x) die 3. Eigenschaft gelten soll, musst du jetzt a und b so bestimmen , dass gilt :

[mm] \lim_{x\to-\infty}(a+b*\arctan(x))=a-b*\bruch{\pi}{2}=0 [/mm] und

[mm] \lim_{x\to\infty}(a+b*\arctan(x))=a+b*\bruch{\pi}{2}=1 [/mm]

Das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, dass sollte keine Schwierigkeit mehr sein.

Alles klar?  ;-)

L G walde

Bezug
                                
Bezug
Verteilungsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 Mi 15.11.2006
Autor: StefanN

1., 2. war mir klar!
3. verstehe ich jetzt auch!
Vielen Dank!!!
Bezug
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