Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Fr 04.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hi, ich hoffe wieder auf eure gute Hilfe. 
In meinem Skript steht: Ist f eine Dichte, dann ist [mm] F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx [/mm] eine Verteilungsfunktion, die sogar stetig ist.
Sei also f eine Dichte, d.h. es gilt: [mm] \int_{\IR}f(x)dx=1. [/mm] Zu zeigen: [mm] F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx [/mm] ist eine stetige Verteilungsfunktion, d.h.:
[mm] $F(t)\to 0,t\to -\infty$, F(t)\to 1,t\to\infty, [/mm] F monoton steigend und F rechtsstetig.
Leider komme ich nicht weiter und brauche einen Stupser.
1)
[mm] \lim_{t\to -\infty}F(t)=\lim_{t\to -\infty}\int_{-\infty}^{t}f(x)dx=\lim_{t\to -\infty}\lim_{U\to -\infty}\int_{U}^{t}f(x)dx
[/mm]
Nach Voraussetzung ist f integrierbar, also folgt:
[mm] \lim_{t\to -\infty}\lim_{U\to -\infty}F(t)-F(U)=\lim_{t\to -\infty}F(t)-\lim_{U\to -\infty}F(U)
[/mm]
Wenn jetzt [mm] \lim_{t\to -\infty}F(t) [/mm] existiert, dann ist es auch äquivalent zu [mm] \lim_{U\to -\infty}F(U) [/mm] und damit folgt 0, aber woher folgt die Existenz?
2) [mm] \lim_{t\to\infty}F(t)=\lim_{t\to \infty}\int_{-\infty}^{t}f(x)dx
[/mm]
Hier komme ich auf nichts.
3) Hier kann ich es einfach nicht sauber zeigen. Mein Ansatz wäre Ableiten und dann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zu benutzen.
4) Wir müssen ehe Stetigkeit zeigen, sodass rechtsstetigkeit direkt folgt. Hier komme ich leider auch nicht weiter.
Vielen Dank! Viele Grüße, James.
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Hallo,
> Hi, ich hoffe wieder auf eure gute Hilfe.
>
> In meinem Skript steht: Ist f eine Dichte, dann ist
> [mm]F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm] eine Verteilungsfunktion, die
> sogar stetig ist.
>
> Sei also f eine Dichte, d.h. es gilt: [mm]\int_{\IR}f(x)dx=1.[/mm]
> Zu zeigen: [mm]F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm] ist eine stetige
> Verteilungsfunktion, d.h.:
>
> [mm]F(t)\to 0,t\to -\infty[/mm], [mm]F(t)\to 1,t\to\infty,[/mm] F monoton
> steigend und F rechtsstetig.
>
> Leider komme ich nicht weiter und brauche einen Stupser.
Wichtig ist vor allem, dass alle oben genannten Eigenschaften einer Verteilungsfunktion hier voraussetzungen sind, die verwendet werden dürfen!
>
> 1)
>
> [mm]\lim_{t\to -\infty}F(t)=\lim_{t\to -\infty}\int_{-\infty}^{t}f(x)dx=\lim_{t\to -\infty}\lim_{U\to -\infty}\int_{U}^{t}f(x)dx[/mm]
>
> Nach Voraussetzung ist f integrierbar, also folgt:
>
> [mm]\lim_{t\to -\infty}\lim_{U\to -\infty}F(t)-F(U)=\lim_{t\to -\infty}F(t)-\lim_{U\to -\infty}F(U)[/mm]
>
> Wenn jetzt [mm]\lim_{t\to -\infty}F(t)[/mm] existiert, dann ist es
> auch äquivalent zu [mm]\lim_{U\to -\infty}F(U)[/mm] und damit folgt
> 0, aber woher folgt die Existenz?
Aus der Definition, dass die Integralfunktion eine Verteilungsfunktion ist, bzw. natürlich ganz wesentlich auch aus den Eigenschaften der Dichtefunktion. Es muss ja der Zusammenhang F'(t)=f(t) gelten!
>
> 2) [mm]\lim_{t\to\infty}F(t)=\lim_{t\to \infty}\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm]
>
> Hier komme ich auf nichts.
>
Na ja, die Forderung ist ja, dass dieser Grenzwert 1 ist. Das bekommts du auch leicht aus den Voraussetzngen sowie aus 1).
> 3) Hier kann ich es einfach nicht sauber zeigen. Mein
> Ansatz wäre Ableiten und dann den Hauptsatz der
> Differenzial- und Integralrechnung zu benutzen.
>
> 4) Wir müssen ehe Stetigkeit zeigen, sodass
> rechtsstetigkeit direkt folgt. Hier komme ich leider auch
> nicht weiter.
Ab hier wird unklar, was überhaupt zu tun ist. Könntest du das nochmal präziser ausformulieren? Ist das aus dem Text des Skripts um den Stoff nachzuvollziehen, oder ist es eine Übungsaufgabe? Falls ja: Originaltext?
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:23 Fr 04.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hallo Diophant und danke für dein Input.
> > In meinem Skript steht: Ist f eine Dichte, dann ist
> > [mm]F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm] eine Verteilungsfunktion,
> die
> > sogar stetig ist.
> >
> > Sei also f eine Dichte, d.h. es gilt:
> [mm]\int_{\IR}f(x)dx=1.[/mm]
> > Zu zeigen: [mm]F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm] ist eine
> stetige
> > Verteilungsfunktion, d.h.:
> >
> > [mm]F(t)\to 0,t\to -\infty[/mm], [mm]F(t)\to 1,t\to\infty,[/mm] F monoton
> > steigend und F rechtsstetig.
> >
> > Leider komme ich nicht weiter und brauche einen
> Stupser.
>
> Wichtig ist vor allem, dass alle oben genannten
> Eigenschaften einer Verteilungsfunktion hier
> voraussetzungen sind, die verwendet werden dürfen!
Das verstehe ich nicht. Ich habe den Satz aus meinem Skript oben hingeschrieben. Voraussetzung sollte doch nur die Wahrscheinlichkeitsdichte sein.
> > 1)
> >
> > [mm]\lim_{t\to -\infty}F(t)=\lim_{t\to -\infty}\int_{-\infty}^{t}f(x)dx=\lim_{t\to -\infty}\lim_{U\to -\infty}\int_{U}^{t}f(x)dx[/mm]
>
> >
> > Nach Voraussetzung ist f integrierbar, also folgt:
> >
> > [mm]\lim_{t\to -\infty}\lim_{U\to -\infty}F(t)-F(U)=\lim_{t\to -\infty}F(t)-\lim_{U\to -\infty}F(U)[/mm]
>
> >
> > Wenn jetzt [mm]\lim_{t\to -\infty}F(t)[/mm] existiert, dann ist
> es
> > auch äquivalent zu [mm]\lim_{U\to -\infty}F(U)[/mm] und damit
> folgt
> > 0, aber woher folgt die Existenz?
>
> Aus der Definition, dass die Integralfunktion eine
> Verteilungsfunktion ist, bzw. natürlich ganz wesentlich
> auch aus den Eigenschaften der Dichtefunktion. Es muss ja
> der Zusammenhang F'(t)=f(t) gelten!
>
Das gilt aber nur, wenn die Dichte f der Verteilungsfunktion F an der Stelle t stetig ist. Das ist hier aber nicht gegeben.
> >
> > 2) [mm]\lim_{t\to\infty}F(t)=\lim_{t\to \infty}\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm]
>
> >
> > Hier komme ich auf nichts.
> >
>
> Na ja, die Forderung ist ja, dass dieser Grenzwert 1 ist.
> Das bekommts du auch leicht aus den Voraussetzngen sowie
> aus 1).
Brauche ein Stupser, denn ich komme mit obigem Ansatz leider auf nichts brauchbares.
> > 3) Hier kann ich es einfach nicht sauber zeigen. Mein
> > Ansatz wäre Ableiten und dann den Hauptsatz der
> > Differenzial- und Integralrechnung zu benutzen.
> >
> > 4) Wir müssen ehe Stetigkeit zeigen, sodass
> > rechtsstetigkeit direkt folgt. Hier komme ich leider
> auch
> > nicht weiter.
>
> Ab hier wird unklar, was überhaupt zu tun ist. Könntest
> du das nochmal präziser ausformulieren? Ist das aus dem
> Text des Skripts um den Stoff nachzuvollziehen, oder ist es
> eine Übungsaufgabe? Falls ja: Originaltext?
Aus dem Text des Skriptes. Habe ich oben exakt hingeschrieben: Ist f eine Dichte, dann ist [mm]F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm] eine Verteilungsfunktion, die sogar stetig ist.
Danke nochmal und beste Grüße, James.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
siehe die andere Antwort von Gonozal_IX.
Gruß, Diophant
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Hiho,
1.) F ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung differenzierbar und damit stetig, damit folgt sofort:
[mm] $\lim_{t\to\infty} [/mm] F(t) = [mm] F(\lim_{t\to\infty}t) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\lim_{t\to\infty}t} [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) dx = 1$
2.) F ist monoton steigend, da für x>y: F(x) - F(y) = [mm] \int_y^x [/mm] f(t) dt [mm] \ge \int_y^x [/mm] 0 dt = 0$
3.) Dass [mm] \lim_{x\to -\infty}F(x) [/mm] existiert folgt nun aus $F(x) [mm] \ge [/mm] 0$ und der Monotonie sofort (jede nach unten beschränkte, monoton fallende Folge besitzt einen GW)
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Sa 05.07.2014 | | Autor: | James90 |
Auch hier vielen lieben Dank lieber Gono.
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