Verteilungsdichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 05.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Community!
Folgende Aufgabe gilt es zu lösen und ich würde mich freuen, wenn mir jemand ein Feedback zu meiner Lösung geben könnte!
Die Aufgabe
Das Intervall [0,2] werde in zwei Teile zerlegt, indem in [0,1] zufällig (gemäß der Gleichverteilung) ein Punkt markiert wird. Sei X das Längenverhältnis [mm]l_1/l_2[/mm] der kürzeren Teilstrecke [mm]l_1[/mm] zur längeren Teilstrecke [mm]l_2[/mm].
Man berechne die Verteilungsdichte von X. |
Zunächst habe ich versucht, die Verteilungsfunktion von X anzugeben:
[mm]F_X(c)=P(l_1\leq c\cdot l_2)=P(l_1\leq c\cdot \underbrace{(2-l_1)}_{=l_2})=P\left(l_1\leq \frac{2c}{c+1}\right)=F_{l_1}\left(\frac{2c}{c+1}\right)[/mm]
Da [mm]l_1[/mm] gleichverteilt ist, habe ich:
[mm]F_{l_1}\left(\frac{2c}{c+1}\right)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } -1
Wenn ich dies nun ableite, erhalte ich
[mm]f(c)=\begin{cases} \frac{2}{(c+1)^2}, & \mbox{für } 0
Dies ist die gesuchte Verteilungsdichte von X (jedenfalls nach meiner Rechnung und Idee).
Wie gesagt, ich würde mich über ein Feedback freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 05.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Da [mm]l_1[/mm] gleichverteilt ist, habe ich:
>
> [mm]F_{l_1}\left(\frac{2c}{c+1}\right)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } -1
>
$ [mm] F_{l_1}\left(\frac{2c}{c+1}\right)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \red{c\leq 0} \\ \frac{2c}{c+1}, & \mbox{für } 0
> Wenn ich dies nun ableite, erhalte ich
>
> [mm]f(c)=\begin{cases} \frac{2}{(c+1)^2}, & \mbox{für } 0
>
Sonst ist m.E. alles okay.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 05.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Wieso muss das Rotmarkrierte gelten?
Könntest Du das evtl. noch kurz erläutern?
Besten Dank für das Feedback!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 05.10.2011 | | Autor: | luis52 |
> Wieso muss das Rotmarkrierte gelten?
>
> Könntest Du das evtl. noch kurz erläutern?
Die Verteilungsfunktion [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$ einer Verteilung ist i.a. fuer alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert, genauer [mm] $F\colon\IR\to\IR$, $x\mapsto P(X\le [/mm] x)$.
>
> Besten Dank für das Feedback!!
Gerne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 05.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Das habe ich leider noch nicht so ganz verstanden, deswegen frage ich nochmal nach.
Ich hatte ja Folgende Fallunterscheidungen getroffen:
1.) [mm]-1
2.) [mm] 0
3.) [mm] c<-1\text{oder} c\geq 1[/mm]
Wieso muss es aber lauten:
1.) [mm]c\leq 0[/mm]
2.) [mm]0
3.) [mm]c\geq 1[/mm], sprich:
Warum muss ich bei 1.) nicht beachten, daß [mm]-1
Vielleicht könntest Du das nochmal für mich erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 05.10.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Vielleicht könntest Du das nochmal für mich erklären?
Dass deine Ueberlegungen nicht stimmen koennen, siehst du schon daran, [mm] $F_X(c)=1$ [/mm] fuer $c<-1$ bedeutet, dass [mm] $F_X$ [/mm] nicht monoton steigt, was aber notwendig ist.
Du musst die drei Faelle [mm] $c\le0$, [/mm] $0<c<1$ und [mm] $1\le [/mm] c$ unterscheiden. Im
ersten Fall ist
[mm] $F_X(c)=P(l_1\leq \underbrace{c\cdot l_2}_{\le0})=0$. [/mm]
Andererseits ist [mm] $l_1\le l_2$, [/mm] so dass im letzteren Fall [mm] $F_X(c)=1$. [/mm] Den Rest hast du schon selbst gefunden.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 05.10.2011 | | Autor: | Fry |
Verteilungsfunktion der Gleichverteilung P auf [0,1]:
[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x<0 \\
x, & \mbox{fuer } 0\le x\le 1 \\
1, & \mbox{fuer } x>1 \end{cases}[/mm]
Nun x durch [mm] $\bruch{2c}{c+1}$ [/mm] ersetzen und nach c auflösen ergibt:
(1) [mm] $2c<0\gdw [/mm] c<0$
(2) [mm] $0\le 2c\le [/mm] c+1 [mm] \gdw 0\le c\le [/mm] 1$
(3) $c>1$
Gruß
Fry
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