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| Aufgabe | 1. Die Zufallsvariablen [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] seien unabhängig und Poisson-verteilt zu den paramtern [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Verteilung von [mm] X_{1} [/mm] gegeben [mm] X_{1}+X_{2}=n [/mm] eine Binomialverteilung zu den Paramtern n und [mm] \bruch{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} [/mm] ist.
2. Bestimmen Sie alle Verteilungen Q auf [mm] \IN_{0} [/mm] mit der folgenden Eigenschaft: Wenn zwei Zufallsvariablen [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] unabhängig und beide nach Q verteilt sind, dann gilt für alle [mm] n\in\IN_{0} [/mm] und alle [mm] k\in\{0,1,...,n\}: P(X_{1}=k|X_{1}+X_{2}=n)=\vektor{n \\ k} 2^{-n}. [/mm] |
Hallo!
1. Da habe ich etwas, könnte da mal jemand drüber schauen, ob das so richtig ist?
Sei n=k+l
[mm] P(X_{1}=k|X_{1}+X_{2}=n) [/mm]
= [mm] \bruch{P(X_{1}=k \cap X_{2}=n-k)}{P(X_{1}+X_{2}=n)} [/mm] (Def. bedingte Wahrscheinlichkeit)
= [mm] \bruch{P(X_{1}=k) P(X_{2}=n-k)}{P(X_{1}+X_{2}=n)} [/mm] (Unabhängigkeit von [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{a^{k}}{k!}*e^{-a}*\bruch{b^{k}}{(n-k)!}*e^{-b}}{\bruch{(a+b)^{n}}{n!}*e^{-(a+b)}} [/mm] (Poissonverteilung, [mm] \lambda_{1}=a [/mm] und [mm] \lambda_{2}=b)
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} \bruch{e^{-(a+b)}}{e^{-(a+b)}} \bruch{a^{k}*b^{n-k}}{(a+b)^{n}}
[/mm]
= [mm] \vektor{n \\ k} (\bruch{a}{a+b})^{k} (\bruch{b}{a+b})^{n-k}
[/mm]
= [mm] \vektor{n \\ k} (\bruch{a}{a+b})^{k} (1-\bruch{a}{a+b})^{n-k}
[/mm]
= [mm] \vektor{n \\ k} p^{k} (1-p)^{n-k} [/mm] mit [mm] n=X_{1}+X_{2}=n [/mm] und [mm] p=\bruch{a}{a+b}
[/mm]
= B(k|p,n)
2. Hier ist mir noch nicht ganz klar was "Verteilungen Q auf [mm] \IN_{0} [/mm] " bedeuten soll.
Aber die zu zeigenden Gleichung [mm] P(X_{1}=k|X_{1}+X_{2}=n)=\vektor{n \\ k} 2^{-n} [/mm] sieht verdächtig nach Rückgriff auf 1. aus, so dass man vielleicht zeigen muss, wann gilt, dass [mm] 2^{-n}=(\bruch{a}{a+b})^{k} (\bruch{b}{a+b})^{n-k}
[/mm]
?
aber WAS muss dann diese bestimmte Eigenschaft haben?
Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Sa 14.12.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sieht doch schon mal gut aus. Zu 2. wenn [mm]a=b[/mm] also [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] poissonverteilt zum selben Parameter dann kommt doch genau das Richtige raus. Alle Verteilungen [mm]Q[/mm] auf [mm]N_0[/mm] soll heißen alle Verteilungen auf den natürlichen Zahlen einschließlich der Null. Für die Poissonverteilung mit beliebigem Paramter passt es, denn es heißt ja dass sowohl [mm]X_1[/mm] als auch [mm]X_2[/mm] nach [mm]Q[/mm] verteilt sind, also insbesondere auch den gleichen Parameter haben.
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Danke für die schnelle Antwort! 
> Alle Verteilungen [mm]Q[/mm] auf [mm]N_0[/mm] soll
> heißen alle Verteilungen auf den natürlichen Zahlen
> einschließlich der Null.
was [mm] \IN_{0} [/mm] ist, das weiß ich 
aber ich verstehe den Zusammenhang hier nicht durch das "auf"
heißt das, dass die Verteilungen nur Verteilungen VON natürlichen Zahlen (einschließlich der Null) sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 15.12.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
nehmen wir z.B. mal berühmte "Standard-Würfelexperiment" dann ist
[mm]\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}[/mm] und als Wahrscheinlichkeitsmaß nimmt man die Gleichverteilung auf [mm]\{ 1,2,3,4,5,6 \}[/mm].
Betrachtet man nun z.B. [mm]X: \Omega \to \{0,1\}[/mm] mit
[mm]X(\omega) = 0[/mm] für [mm]\omega = 1,2,3[/mm] und
[mm]X(\omega) = 1[/mm] sonst
So benötigen wir noch ein W'maß auf [mm]\{0,1\}[/mm] um die Wahrscheinlichkeit von z.B. [mm]X=1[/mm] angeben zu können.
Grüße
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