Verteilung durch Los < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Bin gerade bei folgender Aufgabe:
n Teilnehmer einer Veranstaltung bringen je ein Geschenk mit. Die Geschenke werden durch Los auf die n Teilnehmer verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Teilnehmer sein eigenes Geschenk zurück erhält?
Mein Vorschlag: Wäre die W-keit nicht [mm] \bruch{1}{n}? [/mm] Oder mache ich es mir da zu einfach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Di 03.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es handelt sich um das sogenannte Rencontre-Problem.
Mache dir bitte klar, dass es sich hierbei genau um das Gegenereignis des Ereignisses hier handelt.
Viele Grüße
Stefan
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Danke schonmal!
Kannst du mir vielleicht noch erklären, wie man auf die Formel mit der Summe kommt? Das ist mir noch nicht so ganz klar; oder ist die einfach da?
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Hallo!
Nein, die Formel kann man sich aus der sogenannten Siebformel (hier gleich mit Wahrscheinlichkeiten statt mit Mengen) herleiten:
[mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)=\sum\limits_{1\le i\le n} P(A_i)-\sum\limits_{1\le i
(Die Siebformel beweist man am einfachsten per vollständiger Induktion.)
In Deinem Fall ist [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass die $i$-te Person ihr Geschenk zurückbekommt. Gesucht ist also [mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)$. [/mm] Mache Dir bitte zunächst mal klar, dass
[mm] $P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$
[/mm]
für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] gilt. Für die weiteren Wahrscheinlichkeiten gilt entsprechend
[mm] $P(A_i\cap A_j)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}\quad\forall i\neq [/mm] j$,
[mm] $P(A_i\cap A_j\cap A_k)=\frac{(n-3)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)(n-2)}\quad\forall i\neq [/mm] j, [mm] j\neq k,i\neq [/mm] k$
usw. bis
[mm] $P(A_1\cap \ldots\cap A_n)=\frac{1}{n!}$.
[/mm]
Einsetzen in die Siebformel liefert nun
[mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)=n\cdot \frac{1}{n}-\binom{n}{2} \frac{1}{n(n-1)}+\binom{n}{3} \frac{1}{n(n-1)(n-2)}-\ldots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n!}$
[/mm]
[mm] $=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\ldots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n!}$
[/mm]
[mm] $=1-\sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!}$
[/mm]
Die Summanden von $r=0$ und $r=1$ heben sich gerade gegenseitig weg. Ich hoffe, Du siehst nun etwas klarer.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo nochmal!
Habe eben entdeckt, dass die vollständige Induktion zum Beweis der Siebformel hier steht.
Viele Grüße
Brigitte
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