Verteilung der Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:26 Do 17.11.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Hab' hier ne Aufgabe bei der ich mich nicht sicher bin, wie ich mit ihr umgehen soll.
Auf dem mit der Gleichverteilung P versehenen Einheitsintervall [mm] \Omega [/mm] =(0,1] sei die Zufallsvariable Z durch Z(w)=-log(w), [mm] w\in \Omega [/mm] ,definiert. Bestimmen Sie die Verteilung von Z durch Berechnung von [mm] P[{w\in\Omega:Z(w)>\alpha}], \alpha \in\IR
[/mm]
Zu meinen Überlegungen:
In [mm] P[{w\in\Omega:Z(w)>\alpha}] [/mm] kann ich das Z(w) einfach durch -log(w) ersetzten. Außerdem muss auch noch das Einheitsintervall (0,1] mit in die Berechnung einfließen. Muss ich vielleicht einfach das [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {-log(w) dw} bilden? Stimmt dann aber überhaupt, dass die 0 untere Grenze ist? Das Intervall ist ja schließlich halboffen.
Alternativ weiß ich auch, dass [mm] P[z(w)\le\alpha]=1-P[Z(w)>\alpha]. [/mm] Da weiß ich aber gar nicht, wie ich die Verteilung berechnen könnte?
Danke schon mal für die Hilfe. Hab die Frage in keinen anderen Foren gestellt oder gefunden.
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Hallo Didi,
> Auf dem mit der Gleichverteilung P versehenen
> Einheitsintervall [mm]\Omega[/mm] =(0,1] sei die Zufallsvariable Z
> durch Z(w)=-log(w), [mm]w\in \Omega[/mm] ,definiert. Bestimmen Sie
> die Verteilung von Z durch Berechnung von
> [mm]P[{w\in\Omega:Z(w)>\alpha}], \alpha \in\IR[/mm]
>
>
> Zu meinen Überlegungen:
>
> In [mm]P[{w\in\Omega:Z(w)>\alpha}][/mm] kann ich das Z(w) einfach
> durch -log(w) ersetzten.
Das ist schon mal gut.
> Außerdem muss auch noch das
> Einheitsintervall (0,1] mit in die Berechnung einfließen.
> Muss ich vielleicht einfach das [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {-log(w)
> dw} bilden?
Ne, so nich.
> Stimmt dann aber überhaupt, dass die 0 untere
> Grenze ist? Das Intervall ist ja schließlich halboffen.
Das is beim Integral wurscht.
> Alternativ weiß ich auch, dass
> [mm]P[z(w)\le\alpha]=1-P[Z(w)>\alpha].[/mm] Da weiß ich aber gar
> nicht, wie ich die Verteilung berechnen könnte?
OK, also fangen wir mal an. Gesucht ist
[mm]F_Z(\alpha)\stackrel{Def.}{=} P(\{\omega \in \Omega : Z(\omega) \leq \alpha \})=1-P(\{\omega \in \Omega : Z(\omega) > \alpha\})=[/mm]
[mm]1-P(\{\omega \in \Omega : -log(\omega) > \alpha\})=1-P(\{\omega \in \Omega : log(\omega) < -\alpha\})=[/mm]
[mm]1-P(\{\omega \in (0,1]: \omega < \exp(-\alpha)\})=\begin{cases} 1-P((0,\exp(-\alpha))), & \mbox{für } \alpha > 0 \\ 1-P(\Omega), & \mbox{für } \alpha \leq 0 \end{cases}[/mm]
Da wir die stetige Gleichverteilung als P haben, also
[mm]F_Z(\alpha)=\begin{cases} 1-\exp(-\alpha), & \mbox{für } \alpha > 0 \\ 0, & \mbox{für } \alpha \leq 0 \end{cases}[/mm] oder noch kürzer:
[mm]F_Z(\alpha)=1-\min\{\exp(-\alpha),1\}[/mm]
mfg
Daniel
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