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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 13.07.2008 | | Autor: | Gero |
Hallo an alle,
ich sitz hier grad an ner Aufgabe und komm einfach nicht auf den Trichter. Ich weiß, dass X und Y exponentialverteilt mit Parameter [mm] \lambda= [/mm] 1/100 und unabhängig voneinander sind. Zuerst soll ich die Verteilung von [X] ( hier: Gaußklammer als x ist die kleinste ganze Zahl n mit x [mm] \le [/mm] n).
So, die [X] und [Y] sind dann geometrisch verteilt mit p=1-e^(-1/100).
Nun zu meinem Problem. Ich soll nun P[ [X]= [Y] ] berechnen. Ich komm hier einfach nicht drauf, wie ich rangehen muss!
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Danke schonmal im voraus!
Gruß
Gero
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> Ich weiß, dass X und Y
> exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda=[/mm] 1/100 und
> unabhängig voneinander sind. Zuerst soll ich die Verteilung
> von [X] ( hier: Gaußklammer als x ist die kleinste ganze
> Zahl n mit x [mm]\le[/mm] n).
> So, die [X] und [Y] sind dann geometrisch verteilt mit
> p=1-e^(-1/100).
> Nun zu meinem Problem. Ich soll nun P[ [X]= [Y] ]
> berechnen. Ich komm hier einfach nicht drauf, wie ich
> rangehen muss!
hallo Gero,
Da [X] und [Y] nur ganzzahlige Werte [mm] \ge [/mm] 0 haben, ergibt sich
für die gesuchte Wahrscheinlichkeit eine Summation:
P([X]=[Y]) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}{P([X]=[Y]=k) }
[/mm]
Dann kann man noch die Unabhängigkeit von X und Y verwenden,
die sich natürlich auf [X] und [Y] überträgt:
[mm] P(([X]=k)\cap{([Y]=k))}=P([X]=k)*P([Y]=k)=(P([X]=k))^2 [/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 13.07.2008 | | Autor: | Gero |
Ah, okay, vielen Dank. Jetzt isses mir auch klar. Heißt das also auch, wenn ich die Verteilung P[ [X] [mm] \le [/mm] [Y] ] berechnen möchte, dass ich P [ [mm] \{[X] \le k \} \cap \{ [Y] \ge k \} [/mm] ] betrachten muss?
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> Ah, okay, vielen Dank. Jetzt isses mir auch klar. Heißt das
> also auch, wenn ich die Verteilung P[ [X] [mm]\le[/mm] [Y] ]
> berechnen möchte, dass ich P [ [mm]\{[X] \le k \} \cap \{ [Y] \ge k \}[/mm]
> ] betrachten muss?
... und dann eine neue Summation ?
das ginge wohl, aber es geht wohl auch deutlich einfacher:
Wenn du P([X]=[Y]) hast, dann ist
P([X]<[Y])+ P([X]=[Y])+ P([X]>[Y])=1 und P([X]<[Y])= P([X]>[Y])
Daraus lässt sich P([X] [mm] \le [/mm] [Y]) elementar berechnen.
Schönen Abend !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Gero |
OK, soweit so gut. Das hab ich dann verstanden. Aber ich kann das ja nur folgern, wenn meine Verteilung symmetrisch ist.
Aber wenn ich jetzt eine stetige und eine diskrete Verteilung hab, geht das ja nicht mehr.
Angenommen: X sei Unif([0, 4]) und Y mit P[Y=0]=1/3 und P[Y=3]=2/3 verteilt und beide sind unabhängig.
Ich möchte jetzt P[X>Y] berechnen.
Wenn ich jetzt hingeh und sag 1=P[X=Y] + P[X<Y]+ P[X>Y] kann ich nicht annehmen, dass P[X<Y]=P[X>Y], weil die ja nicht symmetrisch sind, oder?
Und wie komm ich denn hier auf P[X=Y]? Denn P[X=k] ist ja 0, da X stetig ist.
Irgendwie kapier ich das immer noch nicht ganz. Tut mir leid, wenn ich da weiter drauf rumkau.
Gruß
Gero
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> OK, soweit so gut. Das hab ich dann verstanden. Aber ich
> kann das ja nur folgern, wenn meine Verteilung symmetrisch
> ist.
Klar, das war eine spezielle Situation.
> Aber wenn ich jetzt eine stetige und eine diskrete
> Verteilung hab, geht das ja nicht mehr.
> Angenommen: X sei Unif([0, 4]) und Y mit P[Y=0]=1/3 und
> P[Y=3]=2/3 verteilt und beide sind unabhängig.
> Ich möchte jetzt P[X>Y] berechnen.
> Wenn ich jetzt hingeh und sag 1=P[X=Y] + P[X<Y]+ P[X>Y]
> kann ich nicht annehmen, dass P[X<Y]=P[X>Y], weil die ja
> nicht symmetrisch sind, oder?
na eben, hier geht das nicht mehr
> Und wie komm ich denn hier auf P[X=Y]? Denn P[X=k] ist ja
> 0, da X stetig ist.
ich würde mal sagen: P[X=Y]=P[X=0]+P[X=3]=0+0=0
> Irgendwie kapier ich das immer noch nicht ganz. Tut mir
> leid, wenn ich da weiter drauf rumkau.
P[X>Y] kann man aber leicht ermitteln:
P[X>Y]=P[Y=0 und X>Y]+P[Y=3 und X>Y]
=P[Y=0]*P[X>0]+P[Y=3]*P[X>3]
[mm] =\bruch{1}{3}*1+\bruch{2}{3}*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Gruß
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