Verteil. von unendl. vielen ZV < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | $X := [mm] (X_n)_{n\in\IN}$ [/mm] sei eine Folge von Zufallsvariablen auf einem W-Raum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \IP)$. [/mm] Gilt:
[mm] $E(X_1) [/mm] = [mm] \int X_1 [/mm] d [mm] \IP [/mm] = [mm] \int [/mm] g(X) d [mm] \IP [/mm] = [mm] \int [/mm] g( [mm] (x_n)_{n\in\IN}) [/mm] d [mm] \IP^{X}((x_n)_{n\in\IN}) [/mm] = [mm] \int x_1 [/mm] d [mm] \IP^{X}((x_n)_{n\in\IN})$,
[/mm]
wenn man $g: [mm] \IR^{\IN} \to \IR, [/mm] g( [mm] (x_n)_{n\in\IN}) [/mm] = [mm] x_1$ [/mm] setzt? |
Hallo,
Ich frage mich gerade, ob alle obigen Schritte erlaubt sind.
Ich bin mir sicher, dass es okay ist, wenn ich statt einer Folge von Zufallsvariablen nur endlich viele Zufallsvariablen [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] betrachte. Aber ändert sich im unendlichen Fall etwas?
Gibt es da irgendwelche Probleme in obiger Gleichungskette?
Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Di 05.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
die Gleichungskette ist völlig korrekt (vorausgesetzt der Erwartungswert existiert überhaupt). An welchem Schritt zweifelst du?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo Tobias,
ich habe nochmal drüber nachgedacht (sehr lange  ) und jetzt glaube ich es auch. Mein Problem war, die passende Konfiguration für die Anwendung der Transformationsformel zu schaffen.
Dafür muss man ja strenggenommen die (messbaren) Projektionen
[mm] $\pi_k [/mm] : [mm] \left(\produkt_{n \in \IN}\IR, \bigotimes_{n\in\IN}B_{\IR}\right) \to (\IR, B_{\IR}), \quad [/mm] x [mm] \mapsto x_k$.
[/mm]
betrachten. (Bildraum von [mm] $(X_k)_{k \in \IN}$ [/mm] ist ja [mm] $\produkt_{n\in\IN}\IR$).
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
