Vertauschung Integral u. Limes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich haette gerne - allgemein formuliert - die folgende Gleichheit:
[mm] $\lim_{t\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,t)dx=\int_{\IR^2}\lim_{t\to\infty}u(x,t)dx$
[/mm]
Das Integral und der Limes laesst sich bekanntlich nach dem Satz von Beppo Levi (Satz von der monotonen Konvergenz) vertauschen, doch dieser ist lediglich fuer Funktionenfolgen [mm] $f_n$ [/mm] mit [mm] $n\in\N$ [/mm] definiert. Laesst sich dieser Satz ohne Weiteres auf dieses Problem anwenden (da bei mir [mm] $t\in\IR$ [/mm] mit $t>0$)? Was muss ich fuer die Gleichheit genau zeigen?
Danke und Gruss
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Hallo Denny,
mach dir mal klar, wofür das Symbol [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x)$ steht!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Lieber Gono
> mach dir mal klar, wofür das Symbol [mm]\lim_{x\to x_0} f(x)[/mm]
> steht!
Was das "Symbol" bedeutet ist mir schon klar. Aber irgendwie verstehe ich nicht ganz wie mir das meine eigentliche Frage beantwortet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann schreib das doch mal für t gegen [mm] \infty [/mm] hin, dann sollte dein n vorkommen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Nunja,
sei [mm] $(t_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine beliebige Folge positiver reeller Zahlen mit [mm] $t_n\overset{n\to\infty}{\rightarrow}\infty$, [/mm] dann gilt
[mm] $\lim_{t\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,t)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,t_n)dx$
[/mm]
und andererseits
[mm] $\int_{\IR^2}\lim_{t\to\infty}u(x,t)dx=\int_{\IR^2}\lim_{n\to\infty}u(x,t_n)dx$.
[/mm]
Ich moechte also nun zeigen, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,t_n)dx=\int_{\IR^2}\lim_{n\to\infty}u(x,t_n)dx$
[/mm]
Was genau benoetige ich nun?
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Huhu,
> Was genau benoetige ich nun?
nunja, ohne weitere Bedingungen an u wird das wohl nix.
Allgemein gilt es also nicht.
Wie ist u denn definiert?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Die Gleichheit, die ich eigentlich zeigen moechte sieht wie folgt aus:
[mm] $\lim_{t\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,\xi,t)d\xi=\int_{\IR^2}\lim_{t\to\infty}u(x,\xi,t)d\xi$
[/mm]
wobei
[mm] $u(x,\xi,t):=\frac{1}{4\pi t}\cdot\exp\left(-\delta t\right)\cdot\exp\left(-\frac{1}{4t}\cdot\left(x_1^2+x_2^2+\xi_1^2+\xi_2^2\right)\right)\cdot\exp\left(\frac{1}{2t}\cdot\cos(ct)\cdot\left(x_1\xi_1+x_2\xi_2\right)\right)\cdot\exp\left(\frac{1}{2t}\cdot\sin(ct)\cdot\left(x_1\xi_2-x_2\xi_1\right)\right)\cdot u_0(\xi_1,\xi_2)$
[/mm]
und [mm] $c\in\IR$ [/mm] mit [mm] $c\neq [/mm] 0$, [mm] $\delta\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\delta>0$, $x,\xi\in\IR^2$, $u_0\in L^2(\IR^2,\IR)$. [/mm] D.h. koennte ich den Limes hineinziehen, so wuerden die ersten 3 Faktoren in [mm] $u(x,\xi,t)$ [/mm] gegen 0 und die Faktoren 4 und 5 jeweils gegen 1 konvergieren.
D. h. was genau muesste ich fuer die obige Gleichheit nun zeigen?
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Huhu,
offensichtlich ist
[mm] $\lim_{t\to\infty} u(x,\xi,t) [/mm] = 0$
Zu zeigen wäre also "nur" noch:
$ [mm] \lim_{t\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,\xi,t)d\xi=0$
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{4t} [/mm] kannst du ausklammern.
Wäre der Rest bspw. beschränkt, wurde obige Gleichung stimmen, aber das ist auch nur ne Idee.
Musst halt schauen, ob du das schön umformen kannst....
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
> Huhu,
>
> offensichtlich ist
>
> [mm]\lim_{t\to\infty} u(x,\xi,t) = 0[/mm]
>
> Zu zeigen wäre also "nur" noch:
>
> [mm]\lim_{t\to\infty}\int_{\IR^2}u(x,\xi,t)d\xi=0[/mm]
Gerade um diese Eigenschaft nachzuweisen, wollte ich eigentlich den
Limes mit dem Integral vertauschen. Nunja, jetzt werde ich es wohl oder ueber doch anders machen muessen.
> Das [mm]\bruch{1}{4t}[/mm] kannst du ausklammern.
> Wäre der Rest bspw. beschränkt, wurde obige Gleichung
> stimmen, aber das ist auch nur ne Idee.
Da hast Du natuerlich recht. Ebenso kann ich [mm] $\exp(-\delta [/mm] t)$ vor das Integral holen. Ich versuche mich nun mal an der Beschraenktheit.
> Musst halt schauen, ob du das schön umformen kannst....
Okay. Vielen Dank fuer's erste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Kurz zur Info: Mit der Beschraenktheit hat es geklappt! Die Hilfsmittel waren die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und [mm] $u_0\in L^2(\IR^2,\IR)$.
[/mm]
Vielen Dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
na prima, so konnten wir dir über Umwegen ja doch helfen 
Liebe Grüße,
Gono.
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